3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n(x-1)^{2 n}}{3^{2 n-1}}\'

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em x=1:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n\,(x-1)^{2n}}{3^{2n-1}}.
Vamos usar a definição de raio de convergência via teste da razão, após simplificar o termo geral.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral:
\frac{n\,(x-1)^{2n}}{3^{2n-1}} =\;n\,(x-1)^{2n}\,\frac{3}{3^{2n}} =3\,n\Bigl(\frac{(x-1)^2}{9}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão ao termo a_n=3\,n\bigl(\tfrac{(x-1)^2}{9}\bigr)^n:
L=\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr| =\lim_{n\to\infty}\frac{3\,(n+1)\bigl(\frac{(x-1)^2}{9}\bigr)^{n+1}}{3\,n\bigl(\frac{(x-1)^2}{9}\bigr)^n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\,\Bigl|\frac{(x-1)^2}{9}\Bigr| =\Bigl|\frac{(x-1)^2}{9}\Bigr|.
Para convergência precisamos de L<1.

Passo 4

Resolvemos a desigualdade
\Bigl|\frac{(x-1)^2}{9}\Bigr|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{(x-1)^2}{9}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad (x-1)^2<9 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-1|<3.
Logo o raio de convergência é R=3 e a região é
1-3<x<1+3 \quad\Longleftrightarrow\quad -2<x<4.

Passo 5

Verificamos os extremos x=-2 e x=4. Em ambos temos (x-1)^2/9=1, e a série torna-se proporcional a \sum n, que diverge. Portanto, os extremos não entram no intervalo.

Resposta

O intervalo de convergência é (-2,\,4).

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