3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty (-1)^n+1 x^2 n-1(2 n-1)!

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty (-1)^n+1 x^2n-1(2n-1)!
Vamos usar o Teste da Razão para séries de potências, que nos dá o raio de convergência R.

Passo 2

Seja
an = (-1)^n+1 x^2n-1(2n-1)!
Aplicamos o teste da razão, calculando
L = limntoinfty |an+1an|
Temos
|an+1| = |x|^2(n+1)-1(2(n+1)-1)! = |x|^2n+1(2n+1)!,
|an| = |x|^2n-1(2n-1)!
Portanto,
|an+1an| = |x|^2n+1(2n+1)!,(2n-1)!|x|^2n-1 = |x|^2(2n)(2n+1)

Passo 3

Agora calculamos o limite quando ntoinfty:
L = limntoinfty|x|^22n(2n+1) = 0
Como L=0<1 para todo xinR, a série converge para qualquer valor de x.

Passo 4

Como o teste da razão mostra convergência absoluta para todo x, o raio de convergência é
R = infty
e o intervalo de convergência é
(-infty,infty)

Resposta

O intervalo de convergência é (-infty,infty).

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