Calcule a integral tripla integral triplaT d V, onde T é a região delimitada pelas superfícies:
z=raizx^2+y^2 e z=3

Passo 1

O enunciado pede o volume da região T delimitada pela superfície cônica z=raizx^2+y^2 abaixo e pelo plano z=3 acima. Para calcular o volume usaremos coordenadas cilíndricas e a definição de integral tripla de densidade unitária.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z, dV = r,dz,dr,dtheta
A superfície z=raizx^2+y^2 vira z = r. O plano superior é z=3. Logo, para cada thetain[0,2pi] e r>=0, z varia de r até 3. E o máximo de r ocorre quando r=3.

Passo 3

Assim o volume V é
V = integraltheta=0^2piintegralr=0^3integralz=r^3 r ,dz,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em z:
integralz=r^3 r,dz = rl(3 - rr)
Portanto
V = integral0^2pi!!integral0^3 l(3r - r^2r),dr,dtheta

Passo 5

Agora integramos em r:
integral0^3l(3r - r^2r),dr = [3r^22 - r^33]0^3 = 272 - 9 = 92
Finalmente, em theta:
V = integral0^2pi 92,dtheta = 92cdot 2pi = 9pi

Resposta

9pi

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