4.Calcule x para que \left|\begin{array}{ccc}x+2 & 2 & -x \\\\ 4 & 0 & 5 \\\\ 6 & 2 x & x\end{array}\right|=14

Passo 1

O problema pede para achar os valores de x que satisfazem
\begin{vmatrix} x+2 & 2 & -x\\\\ 4 & 0 & 5\\\\ 6 & 2x & x \end{vmatrix} =14.
O conteúdo aqui é determinante de matriz 3\times3. Vamos usar a expansão de Laplace (ou regra de Sarrus) para expressar esse determinante em função de x.

Passo 2

Expandindo pela primeira linha, o determinante fica
D(x)=(x+2)\begin{vmatrix}0 & 5\\\ 2x & x\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}4 & 5\\\ 6 & x\end{vmatrix} +(-x)\begin{vmatrix}4 & 0\\\ 6 & 2x\end{vmatrix}.

Passo 3

Calculando cada menor:
\begin{vmatrix}0 & 5\\\ 2x & x\end{vmatrix} =0\cdot x-5\cdot(2x)=-10x, \quad \begin{vmatrix}4 & 5\\\ 6 & x\end{vmatrix} =4x-5\cdot6=4x-30, \quad \begin{vmatrix}4 & 0\\\ 6 & 2x\end{vmatrix} =4\cdot2x-0\cdot6=8x.
Substituindo em D(x):
D(x)=(x+2)(-10x)-2(4x-30)-x\cdot8x =-10x^2-20x-8x+60-8x^2 =-18x^2-28x+60.

Passo 4

Igualamos D(x) a 14:
-18x^2-28x+60=14 \quad\Longrightarrow\quad -18x^2-28x+46=0 \quad\Longrightarrow\quad 18x^2+28x-46=0 \quad\Longrightarrow\quad 9x^2+14x-23=0.

Passo 5

Para resolver 9x^2+14x-23=0, calculamos o discriminante:
\Delta=14^2-4\cdot9\cdot(-23)=196+828=1024,
\sqrt{\Delta}=32. Assim,
x=\frac{-14\pm32}{2\cdot9} =\frac{-14+32}{18}\quad\text{ou}\quad\frac{-14-32}{18}
x=1 \quad\text{ou}\quad x=-\frac{46}{18}=-\frac{23}{9}.

Resposta

x=1 ou x=-\tfrac{23}{9}

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