Sejam A, B \in M_{n}(\mathbb{R}) tais que \operatorname{det} A=4 \mathrm{e} \operatorname{det} B=5 .Determine:
\operatorname{det}(A B)^{-1}

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A,B\in M_{n}(\mathbb{R}) com \det A=4 e \det B=5, e pede \det\bigl((AB)^{-1}\bigr). Vamos usar as propriedades de determinante: multiplicatividade e inversão.

Passo 2

Pela propriedade multiplicativa do determinante, temos
\det(AB)=\det A\cdot\det B=4\cdot5=20.

Passo 3

Para toda matriz invertível M, vale
\det\bigl(M^{-1}\bigr)=\frac{1}{\det M}.
Aplicando M=AB, obtemos
\det\bigl((AB)^{-1}\bigr)=\frac{1}{\det(AB)}=\frac{1}{20}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{20}

Exercícios relacionados