Dada A \in M_{n}(\mathbb{R}) ,tal que \operatorname{det} A=D, determine:
\operatorname{det} A^{-1}

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz em M_{n}(\mathbb{R}) invertível e que \det A = D. Queremos encontrar \det A^{-1}. O conteúdo principal aqui é a propriedade multiplicativa do determinante e o fato de que a matriz inversa satisfaz A\,A^{-1}=I_n.

Passo 2

Lembramos que, para quaisquer matrizes quadradas compatíveis X e Y, vale
\det(XY)=\det X\;\det Y
e que a matriz identidade I_n satisfaz
\det I_n = 1.

Passo 3

Como A\,A^{-1}=I_n, aplicamos a propriedade multiplicativa:
\det(A\,A^{-1})=\det A \;\det A^{-1} = \det I_n = 1.
Como \det A = D, segue que
D \,\det A^{-1} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \det A^{-1} = \frac{1}{D}.

Resposta

\det A^{-1} = \frac{1}{D}.

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