4)É possível que \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) e \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x) existam,mas que o limite do produto, \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \cdot g(x) ,não exista?Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se é possível que \lim_{x\to x_0} f(x) e \lim_{x\to x_0} g(x) existam, mas que o limite do produto \lim_{x\to x_0} \bigl(f(x)\,g(x)\bigr) não exista.
Informações dadas:
  • Existem as funções f e g definidas numa vizinhança de x_0 (exceto, possivelmente, em x_0).
  • Afirma-se que os limites \lim_{x\to x_0} f(x) e \lim_{x\to x_0} g(x) “existem” — atenção: isso pode significar “existem e são números reais finitos” ou, em sentido estendido, pode incluir a possibilidade de um dos limites ser +\infty ou -\infty.
    O que é pedido:
  • Justificar se é ou não possível que ambos os limites existam e, apesar disso, o limite do produto não exista.

Passo 2

Definições e esclarecimento das duas situações (muito importante para não confundir):
  • Definição de limite finito: dizer \lim_{x\to x_0} f(x)=A com A\in\mathbb{R} significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-x_0|<\delta, tem-se |f(x)-A|<\varepsilon.
  • Definição de limite infinito: dizer \lim_{x\to x_0} g(x)=+\infty significa que, para todo M>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-x_0|<\delta, tem-se g(x)>M. Analogamente para -\infty.
    Observação crucial: se as duas afirmações do enunciado forem entendidas como “os limites existem como números reais finitos”, então há uma propriedade padrão que resolve a questão. Se uma das existências for no sentido infinito (limite igual a +\infty ou -\infty), o comportamento pode ser diferente — então vou tratar as duas situações separadamente.

Passo 3

Proposição (caso limites finitos): Se
\lim_{x\to x_0} f(x)=A\in\mathbb{R} \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0} g(x)=B\in\mathbb{R},
então
\lim_{x\to x_0} \bigl(f(x)\,g(x)\bigr)=A\,B.
Vou provar isso por um argumento \varepsilon- \delta passo a passo (é o jeito que aparece em provas e na prova da faculdade):
  1. Queremos mostrar: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x-x_0|<\delta, então
\bigl|f(x)g(x)-AB\bigr|<\varepsilon.
  1. Reescrevemos a diferença para poder usar as hipóteses:
\bigl|f(x)g(x)-AB\bigr| = \bigl|f(x)g(x)-A g(x) + A g(x) - AB\bigr| \le \bigl|f(x)-A\bigr|\;|g(x)| + |A|\;\bigl|g(x)-B\bigr|.
Isto é a desigualdade triangular aplicada convenientemente (fácil de verificar).
  1. Para controlar |g(x)| precisamos garantir que f(x) e g(x) fiquem próximos de A e B. Como \lim_{x\to x_0} f(x)=A, escolhemos \delta_1>0 tal que 0<|x-x_0|<\delta_1\Rightarrow |f(x)-A|<1. Isso é sempre possível (tomamos \varepsilon=1 na definição do limite). Assim, para esses x,
|f(x)| \le |A| + 1.
  1. Agora escolhemos \delta_2>0 tal que 0<|x-x_0|<\delta_2\Rightarrow |f(x)-A|<\frac{\varepsilon}{2(|B|+1)} e também |g(x)-B|<\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)}. Isso é possível porque ambos os limites existem e são finitos; basta aplicar a definição do limite a cada função com as tolerâncias indicadas.
  2. Tomamos \delta=\min(\delta_1,\delta_2). Para 0<|x-x_0|<\delta temos:
  • |f(x)-A|<\frac{\varepsilon}{2(|B|+1)},
  • |g(x)-B|<\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)},
  • e |f(x)|\le |A|+1 (pela escolha de \delta_1).
  1. Agora voltamos à desigualdade do item 2:
\bigl|f(x)g(x)-AB\bigr| \le |f(x)|\;|g(x)-B| + |A|\;|g(x)-B| \le (|A|+1)\,\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)} + |A|\;\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)}.
Aqui separei os termos de forma a usar as cotas escolhidas. Simplificando:
\bigl|f(x)g(x)-AB\bigr| \le \frac{\varepsilon}{2} + \frac{|A|}{2(|A|+1)}\varepsilon \le \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon,
pois \dfrac{|A|}{|A|+1}\le 1. Portanto a condição desejada é satisfeita para esse \delta.
  1. Conclusão: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)g(x)-AB|<\varepsilon. Logo \lim_{x\to x_0} f(x)g(x)=AB. Em palavras: se ambos os limites existem como números reais finitos, então o limite do produto existe e é o produto dos limites (esta é uma das leis usuais de limites).

Passo 4

Interpretação intuitiva e dica para prova de prova: a ideia é simples — quando f(x) fica perto de A e g(x) fica perto de B, o produto f(x)g(x) fica perto de AB. Na prova técnica precisamos apenas controlar termos como |f(x)| (por isso usamos a estimativa |f(x)|\le|A|+1 ao garantir que f esteja suficientemente perto de A). Esse é um padrão que aparece sempre: ao provar limites de produtos usa-se a desigualdade triangular e uma cota para uma das funções.

Passo 5

Caso com limites infinitos (contraponto e contra‑exemplo): se permitirmos limites no sentido estendido (isto é, [\lim g(x)=\pm\infty) é considerado “existir”), então é possível que \lim f e \lim g existam (um finito e o outro infinito) e o limite do produto não exista como número real. Exemplo concreto — mostro passo a passo:
  1. Considere x_0=0, f(x)=x e g(x)=\dfrac{1}{|x|} para x\ne 0.
  2. Verificações de limites:
  • \lim_{x\to 0} f(x)=0 (claro: x\to0\Rightarrow x\to0).
  • \lim_{x\to 0} g(x)=+\infty, porque para qualquer M>0 basta escolher \delta=1/M e então 0<|x|<\delta\Rightarrow \dfrac{1}{|x|}>M.
    Logo, em sentido estendido, os limites “existem”: um finito, outro infinito.
  1. O produto é
f(x)g(x)=x\cdot\frac{1}{|x|}=\frac{x}{|x|}=\begin{cases} 1,& x>0,\\[4pt] -1,& x<0. \end{cases}
  1. Observação: para x>0\] o produto vale \(1, para x<0 vale -1. Assim os limites laterais em 0 são diferentes: \lim_{x\to0^+} f(x)g(x)=1 e \lim_{x\to0^-} f(x)g(x)=-1. Portanto \lim_{x\to0} f(x)g(x) não existe (nem como número real, nem como infinito).
Isto mostra explicitamente que, se alguém conta “existir” incluindo infinitos, então é possível que \lim f e \lim g existam (um finito e um infinito) mas \lim(fg) não exista.]

Passo 6

Resumo final e como usar isso na prova:
  • Se em um enunciado “existem os limites” for entendido no sentido usual (limites são números reais finitos), então a resposta é: não — nesse caso o limite do produto sempre existe e é o produto dos limites; a prova segue pelo argumento \varepsilon- \delta mostrado.
  • Se “existem” for interpretado no sentido estendido e algum limite for infinito, então sim, pode acontecer que o produto não tenha limite: o exemplo f(x)=x, g(x)=1/|x| em x\to 0 mostra isso.
    Dica prática na prova: verifique primeiro se os limites dados são finitos; se forem, cite a lei de limites (ou faça o \varepsilon- \delta curto) e conclua imediatamente. Se algum for infinito, procure um contra‑exemplo ou faça análise de limites laterais para decidir.

Resposta

Se \lim_{x\to x_0} f(x) e \lim_{x\to x_0} g(x) são números reais finitos, então não: o limite do produto existe e vale o produto dos limites.
Se se permitir limites infinitos, então sim: por exemplo, para f(x)=x e g(x)=1/|x| em x\to 0 tem-se \lim f(x)=0, \lim g(x)=+\infty (no sentido estendido) mas \lim f(x)g(x) não existe.

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