Determine a solução geral da EDO não homogênea abaixo utilizando estritamente o método da Variação dos Parâmetros:
y^{\prime \prime}+4 y=\tan (2 x), \quad \text { para }-\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{4}
Apresente o cálculo explícito do Wronskiano, do sistema linear para u_{1}^{\prime} e u_{2}^{\prime}, e as integrais correspondentes para determinar a solução particular.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear não homogênea de 2ª ordem
y''+4y=\tan(2x),\qquad -\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{4},
e pede que se determine a solução geral usando estritamente o método da Variação dos Parâmetros. Vou listar claramente o que é pedido e o que se tem:
  • O que o problema pede:
    • Encontrar a solução geral y(x) da EDO usando variação dos parâmetros.
    • Apresentar o cálculo explícito do Wronskiano.
    • Escrever o sistema linear para u_1'(x) e u_2'(x).
    • Mostrar as integrais que determinam a solução particular e executar essas integrais.
  • Informações relevantes dadas pelo enunciado:
    • A equação é \;y''+4y=\tan(2x)\;.
    • O domínio é -\dfrac{\pi}{4}<x<\dfrac{\pi}{4}, onde \tan(2x) é finita e \cos(2x)>0 (isso vai ser útil para manipular logaritmos sem problemas com o sinal).
    • Deve-se usar variação dos parâmetros (não outro método).

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada para obter a base de soluções fundamentais.
A equação homogênea é
y''+4y=0.
Formamos a equação característica \;r^2+4=0\;, que tem raízes
r=\pm 2i.
Portanto, as soluções fundamentais reais são
y_1(x)=\cos(2x),\qquad y_2(x)=\sin(2x).
A solução geral da homogênea é
y_c(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Apresentar a forma da variação dos parâmetros e a condição auxiliar.
Na variação dos parâmetros buscamos uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
com y_1=\cos(2x) e y_2=\sin(2x), e u_1,u_2 funções a determinar. Para simplificar as contas impomos a condição auxiliar padrão
u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0.
Essa condição elimina termos com u_1'\!{}' e u_2'\!{}' ao calcular y_p'', tornando o sistema mais simples.

Passo 4

Calcular y_1',y_2' e montar o sistema para u_1' e u_2'.
Primeiro derivadas das soluções fundamentais:
y_1'(x)=-2\sin(2x),\qquad y_2'(x)=2\cos(2x).
Usando a forma de y_p e a condição auxiliar, o segundo conjunto de equações (obtido da EDO) é
u_1'(x)y_1'(x)+u_2'(x)y_2'(x)=\tan(2x).
Substituindo y_1,y_2,y_1',y_2' obtemos o sistema linear para u_1' e u_2':
\begin{cases} u_1'(x)\cos(2x)+u_2'(x)\sin(2x)=0,\\[4pt] u_1'(x)\bigl(-2\sin(2x)\bigr)+u_2'(x)\bigl(2\cos(2x)\bigr)=\tan(2x). \end{cases}]

Passo 5

Calcular o Wronskiano W(y_1,y_2).
O Wronskiano é definido por
W(x)=\begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) \\\ y_1'(x) & y_2'(x)\end{vmatrix} = y_1(x)y_2'(x)-y_2(x)y_1'(x).
Substituindo:
W(x)=\cos(2x)\cdot(2\cos(2x))-\sin(2x)\cdot(-2\sin(2x)) =2\cos^2(2x)+2\sin^2(2x)=2.
Portanto o Wronskiano é constante e igual a \;W(x)=2\; para todo x.

Passo 6

Resolver o sistema para u_1' e u_2' (fórmulas padrão).
Para uma equação da forma y''+4y=r(x) e com soluções fundamentais y_1,y_2, as fórmulas padrão da variação dos parâmetros (quando o coeficiente do y'' é 1) são
u_1'(x)=-\frac{r(x)\,y_2(x)}{W(x)},\qquad u_2'(x)=\frac{r(x)\,y_1(x)}{W(x)}.
Aqui r(x)=\tan(2x), y_1=\cos(2x), y_2=\sin(2x) e W=2. Logo
u_1'(x)=-\frac{\tan(2x)\sin(2x)}{2},\qquad u_2'(x)=\frac{\tan(2x)\cos(2x)}{2}.
Simplificações trigonométricas úteis:
\tan(2x)\cos(2x)=\sin(2x), \qquad \tan(2x)\sin(2x)=\frac{\sin^2(2x)}{\cos(2x)}.
Assim
u_1'(x)=-\frac{1}{2}\,\frac{\sin^2(2x)}{\cos(2x)},\qquad u_2'(x)=\frac{1}{2}\sin(2x).

Passo 7

Integrar u_2'(x) para obter u_2(x).
Calcule
u_2(x)=\int u_2'(x)\,dx=\int \frac{1}{2}\sin(2x)\,dx.
Fazendo a integral: \int \sin(2x)\,dx=-\tfrac{1}{2}\cos(2x). Portanto
u_2(x)=\frac{1}{2}\cdot\biggl(-\frac{1}{2}\cos(2x)\biggr)=-\frac{1}{4}\cos(2x)+C_2.
Na variação dos parâmetros podemos escolher as constantes de integração C_1,C_2 iguais a zero, porque quaisquer constantes multiplicadas por y_1,y_2 entram na solução homogênea. Assim, tomamos
u_2(x)=-\frac{1}{4}\cos(2x)
como antiderivada conveniente (sem constante).

Passo 8

Integrar u_1'(x) para obter u_1(x).
Começamos com
u_1'(x)=-\frac{1}{2}\,\frac{\sin^2(2x)}{\cos(2x)}.
Usamos \sin^2(2x)=1-\cos^2(2x) para reescrever:
u_1'(x)=-\frac{1}{2}\left(\frac{1-\cos^2(2x)}{\cos(2x)}\right) =-\frac{1}{2}\bigl(\operatorname{sec}(2x)-\cos(2x)\bigr).
Então
u_1(x)=-\frac{1}{2}\int \operatorname{sec}(2x)\,dx+\frac{1}{2}\int \cos(2x)\,dx.
Calcule as integrais separadamente:
\int \cos(2x)\,dx=\frac{1}{2}\sin(2x).
Para \int \operatorname{sec}(2x)\,dx faça a substituição u=2x, du=2dx, obtém-se
\int \operatorname{sec}(2x)\,dx=\frac{1}{2}\int \operatorname{sec} u\,du=\frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec} u+\tan u\bigr|+\text{const} =\frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)\bigr|+\text{const}.
Portanto, escolhendo a constante de integração como zero (absorvido na homogênea), obtemos
u_1(x)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)\bigr|+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin(2x).
Simplificando:
u_1(x)=-\frac{1}{4}\ln\bigl|\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)\bigr|+\frac{1}{4}\sin(2x).
Observação sobre o valor absoluto: no intervalo -\tfrac{\pi}{4}<x<\tfrac{\pi}{4} tem-se 2x\in(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}) com \cos(2x)>0 e 1+\sin(2x)>0, de modo que \operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)=\dfrac{1+\sin(2x)}{\cos(2x)}>0. Portanto dentro do domínio podemos eliminar as barras de valor absoluto se quisermos.

Passo 9

Construir a solução particular y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x) e simplificar.
Substituindo u_1,u_2,y_1,y_2:
y_p(x)=\Bigl(-\frac{1}{4}\ln\bigl|\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)\bigr|+\frac{1}{4}\sin(2x)\Bigr)\cos(2x) +\Bigl(-\frac{1}{4}\cos(2x)\Bigr)\sin(2x).
Agrupando os termos com \sin(2x)\cos(2x):
y_p(x)=-\frac{1}{4}\cos(2x)\ln\bigl|\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)\bigr| +\frac{1}{4}\sin(2x)\cos(2x)-\frac{1}{4}\sin(2x)\cos(2x).
Os dois últimos termos se cancelam, sobrando
y_p(x)=-\frac{1}{4}\cos(2x)\ln\bigl|\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)\bigr|.
Como observado, no intervalo dado o argumento do logaritmo é positivo, então podemos também escrever sem barras:
y_p(x)=-\frac{1}{4}\cos(2x)\ln\bigl(\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)\bigr).

Passo 10

Escrever a solução geral da EDO somando a homogênea e a particular.
A solução geral é
y(x)=y_c(x)+y_p(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)-\frac{1}{4}\cos(2x)\ln\bigl(\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)\bigr),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)-\dfrac{1}{4}\cos(2x)\ln\bigl(\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)\bigr)

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