Determine a solução geral da EDO não homogênea abaixo utilizando estritamente o método da Variação dos Parâmetros:
y^{\prime \prime}+4 y=\tan (2 x), \quad \text { para }-\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{4}
Apresente o cálculo explícito do Wronskiano, do sistema linear para u_{1}^{\prime} e u_{2}^{\prime}, e as integrais correspondentes para determinar a solução particular.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear não homogênea de 2ª ordem
e pede que se determine a solução geral usando estritamente o método da Variação dos Parâmetros. Vou listar claramente o que é pedido e o que se tem:
O que o problema pede:
Encontrar a solução geral y(x) da EDO usando variação dos parâmetros.
Apresentar o cálculo explícito do Wronskiano.
Escrever o sistema linear para u_1'(x) e u_2'(x).
Mostrar as integrais que determinam a solução particular e executar essas integrais.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A equação é \;y''+4y=\tan(2x)\;.
O domínio é -\dfrac{\pi}{4}<x<\dfrac{\pi}{4}, onde \tan(2x) é finita e \cos(2x)>0 (isso vai ser útil para manipular logaritmos sem problemas com o sinal).
Deve-se usar variação dos parâmetros (não outro método).
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada para obter a base de soluções fundamentais.
A equação homogênea é
y''+4y=0.
Formamos a equação característica \;r^2+4=0\;, que tem raízes
r=\pm 2i.
Portanto, as soluções fundamentais reais são
y_1(x)=\cos(2x),\qquad y_2(x)=\sin(2x).
A solução geral da homogênea é
y_c(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.
Passo 3
Apresentar a forma da variação dos parâmetros e a condição auxiliar.
Na variação dos parâmetros buscamos uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
com y_1=\cos(2x) e y_2=\sin(2x), e u_1,u_2 funções a determinar. Para simplificar as contas impomos a condição auxiliar padrão
u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0.
Essa condição elimina termos com u_1'\!{}' e u_2'\!{}' ao calcular y_p'', tornando o sistema mais simples.
Passo 4
Calcular y_1',y_2' e montar o sistema para u_1' e u_2'.
Primeiro derivadas das soluções fundamentais:
y_1'(x)=-2\sin(2x),\qquad y_2'(x)=2\cos(2x).
Usando a forma de y_p e a condição auxiliar, o segundo conjunto de equações (obtido da EDO) é
u_1'(x)y_1'(x)+u_2'(x)y_2'(x)=\tan(2x).
Substituindo y_1,y_2,y_1',y_2' obtemos o sistema linear para u_1' e u_2':
Portanto o Wronskiano é constante e igual a \;W(x)=2\; para todo x.
Passo 6
Resolver o sistema para u_1' e u_2' (fórmulas padrão).
Para uma equação da forma y''+4y=r(x) e com soluções fundamentais y_1,y_2, as fórmulas padrão da variação dos parâmetros (quando o coeficiente do y'' é 1) são
Na variação dos parâmetros podemos escolher as constantes de integração C_1,C_2 iguais a zero, porque quaisquer constantes multiplicadas por y_1,y_2 entram na solução homogênea. Assim, tomamos
Observação sobre o valor absoluto: no intervalo -\tfrac{\pi}{4}<x<\tfrac{\pi}{4} tem-se 2x\in(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}) com \cos(2x)>0 e 1+\sin(2x)>0, de modo que \operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)=\dfrac{1+\sin(2x)}{\cos(2x)}>0. Portanto dentro do domínio podemos eliminar as barras de valor absoluto se quisermos.
Passo 9
Construir a solução particular y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x) e simplificar.