Nos outros exercícios encontre a solução geral.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes e pede a solução geral:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é linear e homogênea na parte left-hand side (LHS) com um termo não-homogêneo à direita (RHS) igual a
. - Quer-se a solução geral
, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea. - Não há condições iniciais fornecidas, portanto a solução terá duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Explicação do método (característica): para uma equação linear com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
. Substituindo nessa homogênea obtemos a equação característica em
:
Resolver essa equação algébrica:
Interpretação: dois valores distintos de
significam duas soluções independentes
e
. Logo a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (porque é de segunda ordem precisa de duas constantes).
Passo 3
Escolher uma forma de tentativa para uma solução particular
da equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados.
Ideia do método: quando o termo não-homogêneo é uma combinação de funções simples (polinômios, exponenciais, senos/cossenos), tenta-se um
da mesma família com coeficientes a determinar. Aqui o RHS é
.
Problema de ressonância: note que
já é solução da homogênea (
aparece em
). Nesse caso devemos multiplicar a forma de tentativa por
para obter uma função linearmente independente da solução homogênea. Portanto tentamos
onde
é um coeficiente constante a determinar.
Passo 4
Calcular derivadas de
e substituir na equação para determinar
.
Usar a regra do produto para derivar
.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora formar
:
Queremos que isso seja igual ao RHS
. Assim
Portanto a solução particular encontrada é
Passo 5
Escrever a solução geral da equação como soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Observação prática (para a prova): quando o RHS for
e
for raiz do polinômio característico de multiplicidade
, a tentativa para
deve ser do tipo
vezes um polinômio vezes
. Aqui
é raiz simples (
), por isso multiplicou-se por
.