Nos outros exercícios encontre a solução geral.
y^{\prime \prime}-y^{\prime}=e^{t}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes e pede a solução geral:
y''-y'=e^{t}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é linear e homogênea na parte left-hand side (LHS) com um termo não-homogêneo à direita (RHS) igual a \,e^{t}.
  • Quer-se a solução geral y(t), que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.
  • Não há condições iniciais fornecidas, portanto a solução terá duas constantes arbitrárias.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
y''-y'=0.
Explicação do método (característica): para uma equação linear com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y(t)=e^{r t}. Substituindo nessa homogênea obtemos a equação característica em r:
r^{2}-r=0.
Resolver essa equação algébrica:
r(r-1)=0 \quad\Rightarrow\quad r=0 \text{ ou } r=1.
Interpretação: dois valores distintos de r significam duas soluções independentes e^{0\cdot t}=1 e e^{1\cdot t}=e^{t}. Logo a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}+C_{2}e^{t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (porque é de segunda ordem precisa de duas constantes).

Passo 3

Escolher uma forma de tentativa para uma solução particular y_{p} da equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados.
Ideia do método: quando o termo não-homogêneo é uma combinação de funções simples (polinômios, exponenciais, senos/cossenos), tenta-se um y_{p} da mesma família com coeficientes a determinar. Aqui o RHS é \,e^{t}.
Problema de ressonância: note que e^{t} já é solução da homogênea ( e^{t} aparece em y_{h}). Nesse caso devemos multiplicar a forma de tentativa por t para obter uma função linearmente independente da solução homogênea. Portanto tentamos
y_{p}(t)=A\,t\,e^{t},
onde A é um coeficiente constante a determinar.

Passo 4

Calcular derivadas de y_{p} e substituir na equação para determinar A.
Usar a regra do produto para derivar y_{p}(t)=A t e^{t}.
Primeira derivada:
y_{p}'(t)=A\frac{d}{dt}\big(t e^{t}\big)=A\big(1\cdot e^{t}+t\cdot e^{t}\big)=A e^{t}(t+1).
Segunda derivada:
y_{p}''(t)=A\frac{d}{dt}\big(e^{t}(t+1)\big)=A\big(e^{t}(t+1)+e^{t}\cdot 1\big)=A e^{t}(t+2).
Agora formar y_{p}''-y_{p}':
y_{p}''-y_{p}'=A e^{t}(t+2)-A e^{t}(t+1)=A e^{t}\big((t+2)-(t+1)\big)=A e^{t}.
Queremos que isso seja igual ao RHS \,e^{t}. Assim
A e^{t}=e^{t}\quad\Rightarrow\quad A=1.
Portanto a solução particular encontrada é
y_{p}(t)=t e^{t}.

Passo 5

Escrever a solução geral da equação como soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=C_{1}+C_{2}e^{t}+t e^{t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Observação prática (para a prova): quando o RHS for e^{\alpha t} e \alpha for raiz do polinômio característico de multiplicidade m, a tentativa para y_{p} deve ser do tipo t^{m} vezes um polinômio vezes e^{\alpha t}. Aqui \alpha=1 é raiz simples ( m=1), por isso multiplicou-se por t.

Resposta

y(t)=C_{1}+C_{2}e^{t}+t e^{t}

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