Exercício 28. Seja f: R R contínua em R, positiva e tal que
integral-infty^+infty f(t) d t=1
Se [a, b] é um intervalo com menor comprimento possível tal que
integrala^b f(t) d t=12
mostre que f(a)=f(b).

Passo 1

O enunciado diz que f:RtoR é contínua, positiva, e
integral-infty^+inftyf(t),dt=1
Escolhemos um intervalo [a,b] de menor comprimento possível tal que
integrala^bf(t),dt=tfrac12
Queremos mostrar que necessariamente
f(a)=f(b)

Passo 2

Suponha, por contradição, que f(a)neq f(b). Sem perda de generalidade, assuma
f(a)<f(b)
Como f é contínua em a e em b, para varepsilon>0 e de<a>0 pequenos vale, pelo Teorema de valor médio para integrais,
integrala^a+varepsilonf(t),dt = f(a),varepsilon + o(varepsilon), integralb-de<a^bf(t),dt = f(b),de<a + o(de<a),
onde o(varepsilon)/varepsilonto0 e o(de<a)/de<ato0 quando varepsilon,de<ato0.

Passo 3

Vamos construir um novo intervalo l[a+varepsilon,;b-de<ar] que ainda capture massa 1/2. Como
integrala^bf = integrala^a+varepsilonf + integrala+varepsilon^b-de<af + integralb-de<a^bf
e sabemos integrala^bf=1/2, queremos ajustar de<a de modo que
integrala+varepsilon^,b-de<af(t),dt = tfrac12
Isso equivale a
integrala^a+varepsilonf(t),dt + integralb-de<a^bf(t),dt = 0
Substituindo as expansões,
f(a),varepsilon + o(varepsilon) ;+; f(b),de<a + o(de<a)=0 Longrightarrow de<a = f(a)f(b),varepsilon + o(varepsilon)
O comprimento do novo intervalo é
(b-de<a);-;(a+varepsilon) = (b-a);-;l(1-tfracf(a)f(b)r),varepsilon + o(varepsilon)
Como f(a)/f(b)<1, para varepsilon suficientemente pequeno o coeficiente de varepsilon é positivo, e assim
(b-de<a)-(a+varepsilon)<b-a
Obtivemos um intervalo de massa 1/2 e comprimento estritamente menor que [a,b], o que contradiz a minimalidade de [a,b].

Passo 4

A contradição surgiu da hipótese f(a)<f(b). Se iniciasse com f(a)>f(b) faz-se um raciocínio análogo. Logo, a única possibilidade é
f(a)=f(b)

Resposta

f(a)=f(b)

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