Exercício 28. Seja
contínua em
, positiva e tal que
Se
é um intervalo com menor comprimento possível tal que
mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua, positiva, e
Escolhemos um intervalo
de menor comprimento possível tal que
Queremos mostrar que necessariamente
Passo 2
Suponha, por contradição, que
. Sem perda de generalidade, assuma
Como
é contínua em
e em
, para
e
pequenos vale, pelo Teorema de valor médio para integrais,
onde
e
quando
.
Passo 3
Vamos construir um novo intervalo
que ainda capture massa
. Como
e sabemos
, queremos ajustar
de modo que
Isso equivale a
Substituindo as expansões,
O comprimento do novo intervalo é
Como
, para
suficientemente pequeno o coeficiente de
é positivo, e assim
Obtivemos um intervalo de massa
e comprimento estritamente menor que
, o que contradiz a minimalidade de
.
Passo 4
A contradição surgiu da hipótese
. Se iniciasse com
faz-se um raciocínio análogo. Logo, a única possibilidade é