5.4N Efetuando as substituições indicadas, determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
4(y^prime)^2-9 x=0 ; z=y^prime

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
4l(y'r)^2 - 9x = 0
e indica a substituição z = y'. Vamos usar essa mudança de variável para reduzir a equação a uma relação algébrica e depois integrar para encontrar y(x).

Passo 2

Fazendo z = y', a equação torna-se
4z^2 - 9x = 0

Passo 3

Resolvendo para z, temos
4z^2 = 9x Longrightarrow z^2 = 94,x Longrightarrow z = pm 32,raizx

Passo 4

Voltando a y, lembramos que z = y', logo
y' = pm 32,x^1/2
Integramos em relação a x:
y = integral y',dx = integral pm 32,x^1/2,dx = pm 32cdot23,x^3/2 + C = pm x^3/2 + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = C pm x^3/2,
onde C é a constante arbitrária de integração.

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