Na relatividade de Einstein, a energia cinética e o momento são dados por: 10 \%
K=m_{0} c^{2}\left(\eta^{-1}-1\right)
e
\vec{p}=\gamma^{-1} m_{0} \vec{v}
onde \gamma=\left[1-(v / c)^{2}\right]^{1 / 2} é o fator de Lorentz, m, é massa de repouso e c é velocidade da luz.
Mostre que o momento se reduz m_{0} \vec{v} quando v \leqslant c.

Passo 1

O enunciado dá o momento relativístico
\vec{p}=\gamma^{-1}m_{0}\,\vec{v}
com
\gamma=\bigl[1-(v/c)^{2}\bigr]^{-1/2},
e pede para mostrar que, no limite de velocidades muito menores que a da luz ( v\ll c), esse momento se reduz ao momento newtoniano \,m_{0}\vec v. Vamos usar a expansão em série (binomial) para \gamma quando \beta=v/c é pequeno.

Passo 2

Defina \beta = v/c. Então
\gamma = (1-\beta^{2})^{-1/2}.
Para |\beta|\ll1, a expansão binomial dá
(1-\beta^{2})^{-1/2}\approx 1 + \tfrac{1}{2}\,\beta^{2} + O(\beta^{4}).
Invertendo,
\gamma^{-1} = (1-\beta^{2})^{1/2}\approx 1 - \tfrac{1}{2}\,\beta^{2} + O(\beta^{4}).

Passo 3

Substituindo em \vec p:
\vec p = \gamma^{-1}m_{0}\,\vec v \approx m_{0}\bigl(1 - \tfrac{1}{2}\beta^{2}\bigr)\vec v = m_{0}\Bigl(1 - \tfrac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}\Bigr)\vec v.
No limite v/c\to0 o termo \tfrac{1}{2}(v/c)^{2} tende a zero, ficando
\vec p \approx m_{0}\,\vec v.

Resposta

\displaystyle \vec p\to m_{0}\,\vec v quando v\ll c.

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