Na relatividade de Einstein, a energia cinética e o momento são dados por: 10 \%
K=m_{0} c^{2}\left(\eta^{-1}-1\right)
e
\vec{p}=\gamma^{-1} m_{0} \vec{v}
onde \gamma=\left[1-(v / c)^{2}\right]^{1 / 2} é o fator de Lorentz, m, é massa de repouso e c é velocidade da luz.
Mostre que é possível ter a relação,
\frac{P^{2}}{2 m_{0}}=K+\frac{K^{2}}{2 m_{0} c^{2}}
entre energia cinética e momento relativísticos.

Passo 1

O enunciado dá a energia cinética relativística
K = m_{0}c^{2}\bigl(\gamma - 1\bigr)
e o momento
\vec p = \gamma\,m_{0}\,\vec v,
onde
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^{2}}}
é o fator de Lorentz. Queremos mostrar que
\frac{p^{2}}{2\,m_{0}} \;=\; K \;+\;\frac{K^{2}}{2\,m_{0}c^{2}}.

Passo 2

Eleva-se o momento ao quadrado:
p^{2} = (\gamma\,m_{0}\,v)^{2} = m_{0}^{2}\,\gamma^{2}\,v^{2}\,.

Passo 3

Usa-se a identidade
\gamma^{2} \;=\;\frac{1}{1 - v^{2}/c^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \gamma^{2}v^{2} = (\gamma^{2}-1)\,c^{2}.
Logo
p^{2} = m_{0}^{2}\,(\gamma^{2}-1)\,c^{2}\,.

Passo 4

Repare que
\gamma^{2}-1 = (\gamma-1)(\gamma+1),
então
p^{2} = m_{0}^{2}\,(\gamma-1)(\gamma+1)\,c^{2}
e, dividindo por 2\,m_{0},
\frac{p^{2}}{2\,m_{0}} = \frac{m_{0}\,(\gamma-1)(\gamma+1)\,c^{2}}{2}\,.

Passo 5

Reconheça que K = m_{0}c^{2}(\gamma-1). Substituindo,
\frac{p^{2}}{2\,m_{0}} = \frac{K\,(\gamma+1)}{2}.
Além disso, da definição de K segue
\gamma = \dfrac{K}{m_{0}c^{2}} + 1, logo
\frac{\gamma+1}{2} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{K}{m_{0}c^{2}}+2\Bigr) =1 + \frac{K}{2\,m_{0}c^{2}}.
Portanto
\frac{p^{2}}{2\,m_{0}} = K\Bigl(1 + \frac{K}{2\,m_{0}c^{2}}\Bigr) = K + \frac{K^{2}}{2\,m_{0}c^{2}}.

Resposta

\frac{p^{2}}{2\,m_{0}} = K + \frac{K^{2}}{2\,m_{0}c^{2}}.

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