(1.4pt) Discursiva. Considerando f(x)=5 x-3 x^5 / 3, obtenha
(i) os intervalos de crescimento e os de decrescimento
(ii) os intervalos de concavidade para cima e os para baixo
(iii) os pontos de inflexão
(iv) os pontos de máximo e os de mínimo relativos

Passo 1

A questão pede para estudar monotonicidade, concavidade, pontos de inflexão e extremos relativos da função f(x)=5x−3x^{5/3}. O conteúdo é cálculo diferencial: vamos precisar da primeira derivada para monotonicidade e extremos, e da segunda derivada para concavidade e inflexões.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada e achar os pontos críticos. Temos
f'(x)=ddxl(5xr) - ddxl(3x^5/3r)=5 - 3cdot53x^2/3=5 -5x^2/3
Para achar os pontos críticos resolvemos f’(x)=0, ou seja 5−5x^{2/3}=0 ⇒ x^{2/3}=1 ⇒ x=±1. Como f’ é contínua para todo x, esses são os únicos críticos. Analisando o sinal de f’: se |x|<1 temos x^{2/3}<1 ⇒ f’(x)>0; se |x|>1 então x^{2/3}>1 ⇒ f’(x)<0.

Passo 3

Agora a segunda derivada para ver a concavidade. Derivando f’ obtemos
f''(x)=ddxl(5 -5x^2/3r)=-5cdot23x^-1/3=-103x^-1/3=-103x^1/3
Como x^{1/3}>0 em x>0, f’’(x)<0 aí (côncavo para baixo). Em x<0 temos x^{1/3}<0 ⇒ f’’(x)>0 (côncavo para cima).

Passo 4

Para identificar ponto de inflexão vemos onde f’’ muda de sinal. Isso ocorre em x=0, já que f’’ não é definida aí mas muda de positivo para negativo. A função f é contínua em x=0, e a concavidade troca, então temos ponto de inflexão em x=0 com f(0)=0.

Passo 5

Por fim, usamos o teste da primeira derivada para extremos em x=±1. Em x=-1 a derivada vai de negativa (à esquerda) para positiva (à direita) ⇒ mínimo relativo. Em x=1 a derivada vai de positiva para negativa ⇒ máximo relativo. Calculando valores:
f(-1)=5(-1)-3(-1)^{5/3}=-5+3=-2,
f(1)=5-3=2.

Resposta

(i) Cresce em (-1,1) e decresce em (-∞,-1) e (1,∞)
(ii) Côncavo para cima em (-∞,0) e côncavo para baixo em (0,∞)
(iii) Ponto de inflexão em (0,0)
(iv) Mínimo relativo em (-1,-2) e máximo relativo em (1,2)

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