(4pts) Determine se f é continua em 0,1 e 2 . Justifique sua resposta (não precisa justificar o cálculo dos limites).
f(x)= \begin{cases}x-1 & \text { se } x<0 \\\\ -x & \text { se } 0 \leq x<1 \\\\ 0 & \text { se } x=1 \\\ x^{2}-2 & \text { se } 1<x<2 \\\ x & \text { se } x \geq 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} x-1, & x<0,\\\\ -x, & 0\le x<1,\\\\ 0, & x=1,\\\ x^2-2, & 1<x<2,\\\ x, & x\ge2, \end{cases}
e pede para verificar continuidade em x=0, x=1 e x=2. Vamos usar o critério de continuidade: f é contínua em a se
\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a).

Passo 2

Verificação em x=0:
- Limite pela esquerda:
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x-1)=-1.
- Limite pela direita:
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(-x)=0.
- Valor da função:
f(0)=-0=0.
Como \lim_{x\to0^-}f(x)\neq\lim_{x\to0^+}f(x), não há limite único em 0. Logo, f não é contínua em 0.

Passo 3

Verificação em x=1:
- Limite pela esquerda:
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}(-x)=-1.
- Limite pela direita:
\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(x^2-2)=1-2=-1.
- Valor da função:
f(1)=0.
Embora os limites laterais existam e sejam iguais a -1, temos -1\neq f(1). Logo, f não é contínua em 1.

Passo 4

Verificação em x=2:
- Limite pela esquerda:
\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^-}(x^2-2)=4-2=2.
- Limite pela direita:
\lim_{x\to2^+}f(x)=\lim_{x\to2^+}x=2.
- Valor da função:
f(2)=2.
Como \lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^+}f(x)=f(2)=2, f é contínua em 2.

Resposta

f não é contínua em 0 nem em 1, e é contínua em 2.

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