Calcule a integral \int_{0}^{1} f(x) d x quando:
f(x)=(\operatorname{sec} x)^{2}

Passo 1

O enunciado pede o valor de \displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,dx
quando f(x)=(\operatorname{sec} x)^{2}.
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas, usando que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x e, em seguida, aplicando o teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Como sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr)=\operatorname{sec}^{2}x,
uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}x é \tan x. Logo,
\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \tan x + C.

Passo 3

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos
\int_{0}^{1} \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \bigl[\tan x\bigr]_{0}^{1} = \tan(1) - \tan(0).
Como \tan(0)=0, o resultado é \tan(1) (com 1 em radianos).

Resposta

\tan(1)

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