(8pts) Calcule o limite se existir. Explique suas contas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular quatro limites de funções elementares envolvendo exponenciais, funções trigonométricas, radicais e razão de polinômios. Vamos usar:
- Crescimento da exponencial e o fato de
ser limitado. - Racionalização de diferença de radicais.
- Fatoração e cancelamento de fator comum em polinômios.
- Continuidade da função exponencial.
Passo 2
Calcular
.
A função cresce sem limite quando
, enquanto
oscila entre
e
. Logo a soma diverge positivamente:
A função
Passo 3
Calcular
.
Racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
Racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
Fazendo
:
Passo 4
Calcular
.
Fatoramos numerador e denominador:
Fatoramos numerador e denominador:
Cancelando
(para
) obtemos
então
Passo 5
Calcular
.
A exponencial é contínua, então basta substituir:
A exponencial é contínua, então basta substituir:
portanto