(8pts) Calcule o limite se existir. Explique suas contas.
\begin{array}{ll} \lim _{x \rightarrow \infty} e^{x}+\cos (x) & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{4+2 x}-\sqrt{4-3 x}}{x} \\\ \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x^{2}+3 x-10} & \lim _{x \rightarrow 1} e^{x^{2}+3 x-2} \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro limites de funções elementares envolvendo exponenciais, funções trigonométricas, radicais e razão de polinômios. Vamos usar:
  • Crescimento da exponencial e o fato de \cos(x) ser limitado.
  • Racionalização de diferença de radicais.
  • Fatoração e cancelamento de fator comum em polinômios.
  • Continuidade da função exponencial.

Passo 2

Calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty} e^{x}+\cos(x).
A função e^x cresce sem limite quando x\to\infty, enquanto \cos(x) oscila entre -1 e 1. Logo a soma diverge positivamente:
\lim_{x\to\infty}e^{x}+\cos(x)=+\infty.

Passo 3

Calcular \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{4+2x}-\sqrt{4-3x}}{x}.
Racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
\frac{\sqrt{4+2x}-\sqrt{4-3x}}{x} \cdot \frac{\sqrt{4+2x}+\sqrt{4-3x}}{\sqrt{4+2x}+\sqrt{4-3x}} = \frac{(4+2x)-(4-3x)}{x\bigl(\sqrt{4+2x}+\sqrt{4-3x}\bigr)} = \frac{5x}{x\bigl(\sqrt{4+2x}+\sqrt{4-3x}\bigr)} = \frac{5}{\sqrt{4+2x}+\sqrt{4-3x}}.
Fazendo x\to0:
\lim_{x\to0}\frac{5}{\sqrt{4+2x}+\sqrt{4-3x}} =\frac{5}{\sqrt{4}+\sqrt{4}} =\frac{5}{2+2} =\frac{5}{4}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x^{2}-4}{x^{2}+3x-10}.
Fatoramos numerador e denominador:
x^2-4=(x-2)(x+2), \quad x^2+3x-10=(x-2)(x+5).
Cancelando x-2 (para x\neq2) obtemos
\frac{x+2}{x+5},
então
\lim_{x\to2}\frac{x^{2}-4}{x^{2}+3x-10} =\frac{2+2}{2+5} =\frac{4}{7}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \lim_{x\to1}e^{x^{2}+3x-2}.
A exponencial é contínua, então basta substituir:
x^2+3x-2\bigl|_{x=1}=1^2+3\cdot1-2=1+3-2=2,
portanto
\lim_{x\to1}e^{x^{2}+3x-2}=e^{2}.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to\infty}e^{x}+\cos(x)=+\infty. \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{4+2x}-\sqrt{4-3x}}{x}=\frac{5}{4}. \displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x^{2}-4}{x^{2}+3x-10}=\frac{4}{7}. \displaystyle \lim_{x\to1}e^{x^{2}+3x-2}=e^{2}.

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