(4pts) Determine se f é contínua em -1,0 e 1 . Justifique sua resposta (não precisa justificar o cálculo dos limites).
f(x)= \begin{cases}x^{3} & \text { se } x<-1 \\\\ 1 & \text { se } x=-1 \\\ x & \text { se }-1<x \leq 0 \\\ x^{2}+x & \text { se } 0<x<1 \\\\ 2+x & \text { se } 1 \geq x\end{cases}
Passo 1
O enunciado define a função f por partes e pede para verificar a continuidade em x=-1, x=0 e x=1. Vamos usar o critério: f é contínua em a se e somente se
\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a).
Passo 2
Analisando x=-1: \lim_{x\to(-1)^-}f(x)=\lim_{x\to(-1)^-}x^3=(-1)^3=-1 \lim_{x\to(-1)^+}f(x)=\lim_{x\to(-1)^+}x=-1
Mas f(-1)=1. Como o valor da função em -1 difere do limite, f é descontínua em -1.
Passo 3
Analisando x=0: \lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}x=0 \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(x^2+x)=0+0=0
E f(0)=0. Como todos coincidem, f é contínua em 0.
Passo 4
Analisando x=1: \lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}(x^2+x)=1+1=2 \lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(2+x)=2+1=3
E f(1)=2+1=3. Como o limite pela esquerda é 2\neq3, f é descontínua em 1.
Resposta
f não é contínua em -1, é contínua em 0 e não é contínua em 1.