(8pts) Calcule o limite se existir. Explique suas contas.
\begin{array}{ll} \lim _{x \rightarrow 1} \operatorname{sen}(x) \cos (1 / x) & \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5 x^{2}-3 x+1}{2 x^{2}+2 x-6} \\\ \lim _{x \rightarrow 0} \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(1 / x) & \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{15+x}-4}{2 x-2} \end{array}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de quatro limites usando ferramentas básicas de análise de limites: continuidade de funções elementares, comparação de graus em polinômios, argumento de função limitada e racionalização de expressões. Vamos resolver um por um.

Passo 2

Para \displaystyle \lim_{x\to1}\sin(x)\,\cos\bigl(1/x\bigr) usamos que \sin(x) e \cos(1/x) são contínuas em x=1. Logo,
\lim_{x\to1}\sin(x)=\sin(1), \qquad \lim_{x\to1}\cos\bigl(1/x\bigr)=\cos(1),
e, multiplicando,
\lim_{x\to1}\sin(x)\,\cos\bigl(1/x\bigr)=\sin(1)\,\cos(1).

Passo 3

Para \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{5x^{2}-3x+1}{2x^{2}+2x-6} dividimos numerador e denominador por x^2:
\frac{5-\tfrac{3}{x}+\tfrac{1}{x^2}}{2+\tfrac{2}{x}-\tfrac{6}{x^2}} \longrightarrow \frac{5}{2} \quad(x\to\infty).
Portanto o limite é \tfrac{5}{2}.

Passo 4

Para \displaystyle \lim_{x\to0}\sin(x)\,\sin\bigl(1/x\bigr) notamos que \sin(x)\to0 e \sin(1/x) fica sempre entre -1 e 1. Pelo teorema do sanduíche,
-|\sin(x)|\le \sin(x)\,\sin\bigl(1/x\bigr)\le |\sin(x)|,
e como |\sin(x)|\to0, o produto tende a 0.

Passo 5

Para \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\sqrt{15+x}-4}{2x-2} temos forma indeterminada 0/0. Racionalizamos o numerador:
\frac{\sqrt{15+x}-4}{2(x-1)} \cdot \frac{\sqrt{15+x}+4}{\sqrt{15+x}+4} = \frac{(15+x)-16}{2(x-1)\bigl(\sqrt{15+x}+4\bigr)} = \frac{x-1}{2(x-1)\bigl(\sqrt{15+x}+4\bigr)} = \frac{1}{2\bigl(\sqrt{15+x}+4\bigr)}.
Ao x\to1, \sqrt{15+1}+4=8, logo o limite é \tfrac{1}{2\cdot8}=\tfrac{1}{16}.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to1}\sin(x)\cos\bigl(1/x\bigr)=\sin(1)\cos(1) \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{5x^{2}-3x+1}{2x^{2}+2x-6}=\frac{5}{2} \displaystyle \lim_{x\to0}\sin(x)\sin\bigl(1/x\bigr)=0 \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\sqrt{15+x}-4}{2x-2}=\frac{1}{16}

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