Uma agrimensora usa uma trena de aço de 50,000 \mathrm{~m} de comprimento a uma temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}. As marcações na trena são calibradas para essa temperatura.
(a) Qual é o comprimento da trena quando a temperatura é 30^{\circ} \mathrm{C} ?
(b) Quando a temperatura é igual a 30^{\circ} \mathrm{C}, ela usa a trena para medir uma distância. O valor lido na trena é igual a 34,496 \mathrm{~m}. Qual é a distância real?

Passo 1

O enunciado trata de dilatação térmica linear de uma trena de aço, cuja marcação de 50{,}000 mm (ou seja, 50 m) está calibrada a 20^\circ\mathrm{C}. Ao subir a temperatura para 30^\circ\mathrm{C}, a trena se expande. Para resolver isso, usamos a fórmula da dilatação linear:
\Delta L = \alpha\,L_0\,\Delta T
onde \alpha é o coeficiente de dilatação linear do aço (tipicamente \alpha=1{,}2\times10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}), L_0 é o comprimento inicial e \Delta T a variação de temperatura.

Passo 2

Calcular o novo comprimento da trena a 30^\circ\mathrm{C}.
A variação de temperatura é
\Delta T = 30 - 20 = 10\;^\circ\mathrm{C}.
Logo,
\Delta L = \alpha\,L_0\,\Delta T = (1{,}2\times10^{-5})\times50\;\mathrm{m}\times10 = 0{,}006\;\mathrm{m}.
Portanto, o comprimento final é
L = L_0 + \Delta L = 50 + 0{,}006 = 50{,}006\;\mathrm{m}.

Passo 3

Quando a trena está a 30^\circ\mathrm{C}, cada graduação “de 1 m” vale, na prática,
1\;\mathrm{m}\times(1+\alpha\,\Delta T) =1\times1{,}00012 = 1{,}00012\;\mathrm{m}.
Se ela lê 34{,}496 m nessa trena expandida, o comprimento real medido é
D = 34{,}496 \times 1{,}00012 = 34{,}50014\;\mathrm{m}.

Resposta

(a) 50{,}006\;\mathrm{m}
(b) 34{,}50014\;\mathrm{m}

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