[5, 3] Suponha que um cientista tenha razões para acreditar que duas quantidades
e
estejam relacionadas linearmente, ou seja,
, pelo menos aproximadamente, para algum valor de
e de
. O cientista realiza uma experiência e coleta os dados na forma de pontos
, e então coloca-os em um gráfico. Os pontos não estão todos alinhados, de modo que o cientista quer determinar as constantes
e
para que a reta
“ajuste” os pontos tanto quanto possível, ou seja, de forma que a soma dos quadrados dos erros
seja mínima. Ajude-o determinando
e
para que a soma abaixo seja mínima.
Passo 1
O enunciado pede para ajustar uma reta
a dados
de forma a minimizar a soma dos quadrados dos erros
O conteúdo é o método dos mínimos quadrados linear. Vamos usar cálculo (derivadas parciais) para achar
e
.
Passo 2
Escrevemos explicitamente a função erro:
Passo 3
Para minimizar, imponho as condições de fronteira nula das derivadas parciais:
Passo 4
Essas equações geram o sistema normal:
Passo 5
Definimos as médias
Resolvendo o sistema, obtém-se