[5, 3] Suponha que um cientista tenha razões para acreditar que duas quantidades x e y estejam relacionadas linearmente, ou seja, y=alpha x+beta, pelo menos aproximadamente, para algum valor de alpha e de beta. O cientista realiza uma experiência e coleta os dados na forma de pontos (x1, y1),(x2, y2), ldots,(xn, yn), e então coloca-os em um gráfico. Os pontos não estão todos alinhados, de modo que o cientista quer determinar as constantes alpha e beta para que a reta y=alpha x+beta “ajuste” os pontos tanto quanto possível, ou seja, de forma que a soma dos quadrados dos erros f(xi)-yi seja mínima. Ajude-o determinando alpha e beta para que a soma abaixo seja mínima.
E(alpha, beta)=sumi=1^n[f(xi)-yi]^2

Passo 1

O enunciado pede para ajustar uma reta y=alpha x+beta a dados l(xi,yir) de forma a minimizar a soma dos quadrados dos erros
E(alpha,beta)=sumi=1^nl(alpha xi+beta-yir)^2
O conteúdo é o método dos mínimos quadrados linear. Vamos usar cálculo (derivadas parciais) para achar alpha e beta.

Passo 2

Escrevemos explicitamente a função erro:
E(alpha,beta)=sumi=1^nl(alpha xi+beta-yir)^2

Passo 3

Para minimizar, imponho as condições de fronteira nula das derivadas parciais:
partial Epartial alpha =2sumi=1^nxil(alpha xi+beta-yir)=0,
partial Epartial beta =2sumi=1^nl(alpha xi+beta-yir)=0

Passo 4

Essas equações geram o sistema normal:
alphasumi=1^nxi^2+betasumi=1^nxi =sumi=1^nxi yi,
alphasumi=1^nxi+n,beta =sumi=1^nyi

Passo 5

Definimos as médias
bar x=1nsumi=1^nxi, bar y=1nsumi=1^nyi
Resolvendo o sistema, obtém-se
alpha =sumi=1^n(xi-bar x)(yi-bar y) sumi=1^n(xi-bar x)^2,
beta =bar y-alpha,bar x

Resposta

boxed alpha =sumi=1^n(xi-bar x)(yi-bar y) sumi=1^n(xi-bar x)^2, beta =bar y-alpha,bar x

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