Questão 4.1)
Encontre a solução geral da edo dada:
y^2 e^2 y d x+(2 x y e^2 y+2 x y^2 e^2 y+y) d y=0

Passo 1

Neste exercício temos a equação y^2 e^2y ,dx + (2x y e^2y + 2x y^2 e^2y + y) ,dy = 0. O conteúdo é equações diferenciais exatas; vamos testar exatidão calculando as derivadas parciais de M(x,y) e N(x,y).

Passo 2

Definindo M(x,y)=y^2 e^2y e N(x,y)=2x y e^2y + 2x y^2 e^2y + y, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2y e^2y + 2y^2 e^2y,
partial Npartial x = 2y e^2y + 2y^2 e^2y

Passo 3

Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Para achar a função potencial psi(x,y) tal que partial psi/partial x = M, integramos em x:
psi(x,y) = integral y^2 e^2y ,dx = x y^2 e^2y + h(y)

Passo 5

Para determinar h(y), usamos partial psi/partial y = N. Derivando:
partial psipartial y = 2x y e^2y + 2x y^2 e^2y + h'(y)
Igualando a N obtemos h'(y)=y, logo h(y)=y^22.

Passo 6

Portanto, a solução implícita geral é
psi(x,y) = x y^2 e^2y + y^22 = C

Resposta

x y^2 e^{2y} + \frac{y^2}{2} = C

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