Questão 4.1)
Encontre a solução geral da edo dada:
Encontre a solução geral da edo dada:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
2x/y³ dx = –(y² – 3x²)/y⁴ dy
Seu conteúdo é EDO homogênea em x e y, pois os termos têm grau 2. Vamos resolver usando a substituição y = u x.
Passo 2
Multiplicando ambos os lados por y⁴ e trazendo tudo para um lado, obtemos a forma diferencial exata (não exata, mas em forma de M dx+N dy=0):
M(x,y)=2x y,
N(x,y)=y²–3x²
N(x,y)=y²–3x²
Então 2x y dx+(y²–3x²) dy=0.
Passo 3
Como M e N são homogêneas de grau 2, fazemos y = u x ⇒ dy = u dx + x du. Substituindo na diferencial:
2x·(u x) dx + (u²x²–3x²)(u dx + x du)=0
Passo 4
Expandindo e coletando dx e du: após simplificar por x², fica
(u³–u) dx + x (u²–3) du = 0
ou seja
dx/x = –(u²–3)/(u³–u) du.
Passo 5
O lado direito integra por frações parciais. Note que
(u²–3)/(u(u²–1)) = 3/u – 1/(u–1) – 1/(u+1)
Logo
–(u²–3)/(u³–u) = –3/u + 1/(u–1) + 1/(u+1).
Passo 6
Integramos ambos os lados:
∫dx/x = ∫[–3/u + 1/(u–1) + 1/(u+1)] du
que dá
ln|x| = –3 ln|u| + ln|u–1| + ln|u+1| + C.
Passo 7
Reescrevendo no original u = y/x, obtemos
ln|x| = ln|(y/x–1)(y/x+1)/(y/x)³| + C ⇒
ln|y³/(y²–x²)| = C’
e essa é a solução geral implícita.