5ํ) Em cada item a seguir, determine o limite, se existir, e em seguida esboce o gráfico da função:
a)
i) lim x 1^+ f(x)
ii) lim x 1^- f(x)
iii) lim x 1 f(x)
b) f(x)=lx+3 se x<2 3-x se x >= 2
i) lim x 2^- f(x)
ii) lim x 2^+ f(x)
iii) lim x 2 f(x)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos funções definidas por partes e precisamos calcular os limites dessas funções em pontos específicos. O conteúdo envolve limites laterais e limites gerais de funções definidas por partes. Para resolver, vamos precisar saber como calcular limites laterais e como eles se relacionam com o limite geral da função.
Passo 2
Começaremos com a parte a) da questão, que define a função f(x) de maneira diferente para x < 1 , x = 1 e x > 1 . Primeiro, vamos calcular limx to 1^+ f(x) , que é o limite quando x se aproxima de 1 pela direita.
Passo 3
Para x > 1 , a função é f(x) = 7 - 2x . Então, para calcular limx to 1^+ f(x) , substituímos x por valores ligeiramente maiores que 1 na expressão 7 - 2x :
limx to 1^+ f(x) = 7 - 2(1) = 7 - 2 = 5
Passo 4
Agora, vamos calcular limx to 1^- f(x) , que é o limite quando x se aproxima de 1 pela esquerda. Para x < 1 , a função é f(x) = 2x + 3 . Substituindo x por valores ligeiramente menores que 1:
limx to 1^- f(x) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5
Passo 5
Com os limites laterais iguais, podemos calcular o limite geral limx to 1 f(x) . Como ambos os limites laterais são iguais a 5, o limite geral também será 5.
Passo 6
Passando para a parte b), a função f(x) é definida de maneira diferente para x < 2 e x >= 2 . Primeiro, calcularemos limx to 2^- f(x) , o limite quando x se aproxima de 2 pela esquerda.
Passo 7
Para x < 2 , a função é f(x) = x + 3 . Substituindo x por valores ligeiramente menores que 2:
limx to 2^- f(x) = 2 + 3 = 5
Passo 8
Agora, vamos calcular limx to 2^+ f(x) , o limite quando x se aproxima de 2 pela direita. Para x >= 2 , a função é f(x) = 3 - x . Substituindo x por valores ligeiramente maiores que 2:
limx to 2^+ f(x) = 3 - 2 = 1
Passo 9
Como os limites laterais são diferentes ( 5 pela esquerda e 1 pela direita), o limite geral limx to 2 f(x) não existe, pois os limites laterais não são iguais.
Resposta
a)
i) limx to 1^+ f(x) = 5
ii) limx to 1^- f(x) = 5
iii) limx to 1 f(x) = 5
b)
i) limx to 2^- f(x) = 5
ii) limx to 2^+ f(x) = 1
iii) limx to 2 f(x) não existe