Uma joalheria quer produzir brincos maciços de ouro. Eles serão obtidos a partir da rotação em torno do eixo
do disco de centro
e raio 1 , ou seja, do círculo de equação
junto com seu interior.
Se
e
estão em centímetros, calcule quantos
(ou seja,
) de ouro são necessários para produzir um brinco. (dica: use a fórmula de volume por cascas, e use outros resultados desta prova).
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma joalheria que quer fazer brincos maciços de ouro. Eles vão fazer isso girando um disco ao redor do eixo
. O disco tem centro em
e raio 1, então a equação do círculo é
. Nosso objetivo é calcular o volume de ouro necessário para fazer um brinco, usando a fórmula de volume por cascas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que significa girar esse disco ao redor do eixo
. Quando você gira uma região plana em torno de um eixo, forma-se um sólido de revolução. Nesse caso, o sólido gerado será simétrico em relação ao eixo
.
Passo 3
Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método das cascas cilíndricas (ou método das cascas). Esse método é útil quando estamos girando uma região em torno do eixo
.
A fórmula do volume pelo método das cascas é:
Onde:
-
é a distância do elemento infinitesimal em relação ao eixo de rotação. -
é a altura da casca cilíndrica. -
e são os limites de integração.
Passo 4
Vamos identificar
,
e
para o nosso problema. O círculo
tem raio 1 e está centrado em
. Portanto,
varia de 1 a 3 cm.
A altura
da casca é a distância vertical entre a parte superior e inferior do círculo para cada
. Resolvendo a equação para
:
Então, a altura total é
:
Passo 5
Substituindo na fórmula do volume:
Passo 6
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
, então
. Quando
,
e quando
,
.
Substituindo na integral:
Passo 7
Vamos separar a integral em duas partes:
Observamos que a primeira integral é uma função ímpar sobre um intervalo simétrico, então ela é igual a zero:
Passo 8
A segunda integral é a área de um semicírculo de raio 1:
Multiplicando por 2:
Passo 9
Agora, substituímos de volta na expressão do volume:
Resposta
O volume necessário para produzir um brinco é
.