Uma joalheria quer produzir brincos maciços de ouro. Eles serão obtidos a partir da rotação em torno do eixo y do disco de centro C=(2,0) e raio 1 , ou seja, do círculo de equação (x-2)^2+y^2=1 junto com seu interior.
Se x e y estão em centímetros, calcule quantos m l (ou seja, cm^3 ) de ouro são necessários para produzir um brinco. (dica: use a fórmula de volume por cascas, e use outros resultados desta prova).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma joalheria que quer fazer brincos maciços de ouro. Eles vão fazer isso girando um disco ao redor do eixo y . O disco tem centro em C = (2, 0) e raio 1, então a equação do círculo é (x - 2)^2 + y^2 = 1 . Nosso objetivo é calcular o volume de ouro necessário para fazer um brinco, usando a fórmula de volume por cascas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que significa girar esse disco ao redor do eixo y . Quando você gira uma região plana em torno de um eixo, forma-se um sólido de revolução. Nesse caso, o sólido gerado será simétrico em relação ao eixo y .

Passo 3

Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método das cascas cilíndricas (ou método das cascas). Esse método é útil quando estamos girando uma região em torno do eixo y .
A fórmula do volume pelo método das cascas é:
V = 2pi integrala^b x cdot h(x) , dx
Onde:
  • x é a distância do elemento infinitesimal em relação ao eixo de rotação.
  • h(x) é a altura da casca cilíndrica.
  • a e b são os limites de integração.

Passo 4

Vamos identificar a , b e h(x) para o nosso problema. O círculo (x - 2)^2 + y^2 = 1 tem raio 1 e está centrado em x = 2 . Portanto, x varia de 1 a 3 cm.
A altura h(x) da casca é a distância vertical entre a parte superior e inferior do círculo para cada x . Resolvendo a equação para y :
y = raiz1 - (x - 2)^2
Então, a altura total é 2y :
h(x) = 2raiz1 - (x - 2)^2

Passo 5

Substituindo na fórmula do volume:
V = 2pi integral1^3 x cdot 2raiz1 - (x - 2)^2 , dx = 4pi integral1^3 x raiz1 - (x - 2)^2 , dx

Passo 6

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja u = x - 2 , então du = dx . Quando x = 1 , u = -1 e quando x = 3 , u = 1 .
Substituindo na integral:
V = 4pi integral-1^1 (u + 2) raiz1 - u^2 , du

Passo 7

Vamos separar a integral em duas partes:
V = 4pi ( integral-1^1 u raiz1 - u^2 , du + 2 integral-1^1 raiz1 - u^2 , du )
Observamos que a primeira integral é uma função ímpar sobre um intervalo simétrico, então ela é igual a zero:
integral-1^1 u raiz1 - u^2 , du = 0

Passo 8

A segunda integral é a área de um semicírculo de raio 1:
integral-1^1 raiz1 - u^2 , du = pi2
Multiplicando por 2:
2 integral-1^1 raiz1 - u^2 , du = pi

Passo 9

Agora, substituímos de volta na expressão do volume:
V = 4pi ( 0 + pi ) = 4pi^2

Resposta

O volume necessário para produzir um brinco é 4pi^2 , cm^3 .

Exercícios relacionados