Derive.
y=(e^x+2)(2 e^x-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação! A gente tem a função y = (e^x + 2)(2 e^x - 1) e precisa encontrar a derivada dela em relação a x . Para isso, vamos usar a regra do produto, que é essencial quando temos uma função multiplicando outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra do produto. Se você tem duas funções u(x) e v(x) , a derivada de y = u(x)v(x) é dada por:
y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
Isso significa que a gente precisa derivar cada parte individualmente e depois combinar as derivadas.

Passo 3

Agora, vamos identificar as duas partes da nossa função:
u(x) = e^x + 2 e v(x) = 2 e^x - 1
Vamos derivar cada uma delas:
  • Derivada de u(x) :
u'(x) = ddx(e^x) + ddx(2) = e^x + 0 = e^x
  • Derivada de v(x) :
v'(x) = ddx(2 e^x) + ddx(-1) = 2 e^x + 0 = 2 e^x

Passo 4

Agora que temos u'(x) e v'(x) , vamos aplicar a regra do produto:
y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = e^x(2 e^x - 1) + (e^x + 2)(2 e^x)
Vamos simplificar essa expressão:
y' = 2 e^2x - e^x + 2 e^2x + 4 e^x = (2 e^2x + 2 e^2x) + (-e^x + 4 e^x) = 4 e^2x + 3 e^x

Resposta

A derivada da função é:
y' = 4 e^2x + 3 e^x

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