Derive.
y=(4 x^2+3)(2 x+5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função y = (4x^2 + 3)(2x + 5) e precisamos derivar ela, ou seja, encontrar dydx . Para isso, vamos usar o Produto de Funções, que é uma regra da derivada usada quando você tem duas funções multiplicadas. Vamos precisar lembrar dessa regra para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão multiplicadas:
  • u(x) = 4x^2 + 3
  • v(x) = 2x + 5
Isso facilita a aplicação da regra do produto.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da Regra do Produto. Se y = u(x) cdot v(x) , então a derivada dydx é:
dydx = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Ou seja, a derivada de u vezes v mais u vezes a derivada de v .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de u(x) e v(x) :
  • Derivada de u(x) = 4x^2 + 3 :
u'(x) = ddx(4x^2) + ddx(3) = 8x + 0 = 8x
  • Derivada de v(x) = 2x + 5 :
v'(x) = ddx(2x) + ddx(5) = 2 + 0 = 2

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Produto com as derivadas que encontramos:
dydx = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) = (8x) cdot (2x + 5) + (4x^2 + 3) cdot (2)

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, multiplicamos 8x por 2x + 5 :
8x cdot 2x = 16x^2
8x cdot 5 = 40x
Depois, multiplicamos 4x^2 + 3 por 2 :
4x^2 cdot 2 = 8x^2
3 cdot 2 = 6
Então, juntando tudo:
dydx = 16x^2 + 40x + 8x^2 + 6

Passo 7

Agora, vamos somar os termos semelhantes:
16x^2 + 8x^2 = 24x^2
40x (não tem termo semelhante) ã
6 (constante)
Então, a expressão fica:
dydx = 24x^2 + 40x + 6

Resposta

A derivada de y = (4x^2 + 3)(2x + 5) é:
dydx = 24x^2 + 40x + 6

Exercícios relacionados