[5] Calcule os seguintes limites laterais:
\lim _{x \rightarrow 0^{ \pm}} \frac{\sqrt{1-\cos (2 x)}}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites laterais
\lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x} \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função considerada é x\mapsto \dfrac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}, definida para x próximo de 0 (exceto possivelmente em 0 se houver divisão por zero).
  • A operação \sqrt{\cdot} indica a raiz quadrada principal, ou seja, o resultado da raiz é sempre não negativo.
  • Precisamos calcular os limites laterais direito ( x\to0^+) e esquerdo ( x\to0^-) separadamente.

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão \;1-\cos(2x)\;.
A identidade do ângulo duplo para cosseno é
\cos(2x)=1-2\sin^2 x.
Subtraindo \cos(2x) de 1 obtemos
1-\cos(2x)=2\sin^2 x.
Isso é útil porque transforma a combinação envolvendo \cos(2x) numa expressão com \sin^2 x, que é mais simples de manipular dentro de uma raiz.

Passo 3

Substituindo o resultado acima dentro da raiz:
\sqrt{1-\cos(2x)}=\sqrt{2\sin^2 x}.
Sabendo que \sqrt{a b}=\sqrt{a}\sqrt{b} quando a,b\ge0 e que \sqrt{\sin^2 x}=|\sin x| (a raiz quadrada de um quadrado dá o valor absoluto), temos
\sqrt{1-\cos(2x)}=\sqrt{2}\,|\sin x|.
Portanto a expressão original fica
\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}=\sqrt{2}\,\frac{|\sin x|}{x}.

Passo 4

Agora analiso os dois lados separadamente, porque o valor de \dfrac{|\sin x|}{x} depende do sinal de x.
Para isso é importante lembrar um fato fundamental (veremos uma justificativa imediata): para x muito pequeno, \sin x tem o mesmo sinal de x (pois \sin 0=0 e \sin é contínua). Logo:
  • Se x>0 e pequeno, então |\sin x|=\sin x.
  • Se x<0 e pequeno, então |\sin x|=-\sin x.
Usarei também o limite clássico
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,
cuja justificativa aparece no passo seguinte.

Passo 5

Justificação rápida do limite \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1 (squeeze theorem, argumentinho geométrico clássico):
Para 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade
\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1.
Tomando limites quando x\to0^+, como \cos x\to1, pelo teorema do sanduíche obtemos \lim_{x\to0^+}\dfrac{\sin x}{x}=1. Como \dfrac{\sin x}{x} é uma função par (na verdade \sin(-x)/(-x)=\sin x/x), o limite à esquerda também é 1. Portanto
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,
ou seja, a razão \dfrac{\sin x}{x} aproxima-se de 1 quando x vai para 0 por qualquer lado.

Passo 6

Cálculo do limite à direita x\to0^+.
Para x>0 pequeno temos |\sin x|=\sin x. Assim
\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}=\sqrt{2}\,\frac{|\sin x|}{x}=\sqrt{2}\,\frac{\sin x}{x}.
Tomando limite quando x\to0^+ e usando \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1, obtemos
\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}=\sqrt{2}\cdot 1=\sqrt{2}.

Passo 7

Cálculo do limite à esquerda x\to0^-.
Para x<0 pequeno temos |\sin x|=-\sin x (pois \sin x<0). Então
\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}=\sqrt{2}\,\frac{|\sin x|}{x}=\sqrt{2}\,\frac{-\sin x}{x}=-\sqrt{2}\,\frac{\sin x}{x}.
Tomando limite quando x\to0^- e usando \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1, obtemos
\lim_{x\to0^-}\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}=-\sqrt{2}\cdot 1=-\sqrt{2}.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}=\sqrt{2}
\displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{\sqrt{1-\cos(2x)}}{x}=-\sqrt{2}

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