[5] Calcule os seguintes limites laterais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular os limites laterais
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função considerada é
, definida para próximo de (exceto possivelmente em se houver divisão por zero). - A operação
indica a raiz quadrada principal, ou seja, o resultado da raiz é sempre não negativo. - Precisamos calcular os limites laterais direito (
) e esquerdo ( ) separadamente.
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão
.
A identidade do ângulo duplo para cosseno é
A identidade do ângulo duplo para cosseno é
Subtraindo
de
obtemos
Isso é útil porque transforma a combinação envolvendo
numa expressão com
, que é mais simples de manipular dentro de uma raiz.
Passo 3
Substituindo o resultado acima dentro da raiz:
Sabendo que
quando
e que
(a raiz quadrada de um quadrado dá o valor absoluto), temos
Portanto a expressão original fica
Passo 4
Agora analiso os dois lados separadamente, porque o valor de
depende do sinal de
.
Para isso é importante lembrar um fato fundamental (veremos uma justificativa imediata): para
muito pequeno,
tem o mesmo sinal de
(pois
e
é contínua). Logo:
- Se
e pequeno, então . - Se
e pequeno, então .
Usarei também o limite clássico
cuja justificativa aparece no passo seguinte.
Passo 5
Justificação rápida do limite
(squeeze theorem, argumentinho geométrico clássico):
Para vale a desigualdade
Para
Tomando limites quando
, como
, pelo teorema do sanduíche obtemos
. Como
é uma função par (na verdade
), o limite à esquerda também é
. Portanto
ou seja, a razão
aproxima-se de
quando
vai para
por qualquer lado.
Passo 6
Cálculo do limite à direita
.
Para
pequeno temos
. Assim
Tomando limite quando
e usando
, obtemos
Passo 7
Cálculo do limite à esquerda
.
Para
pequeno temos
(pois
). Então
Tomando limite quando
e usando
, obtemos