Determine k tal que:
\quad \lim _{x \rightarrow 2}\left(5 x^{4}-3 x^{2}+2 x-2\right)=k

Passo 1

O enunciado pede para determinar k tal que
\lim_{x\to 2}\bigl(5x^{4}-3x^{2}+2x-2\bigr)=k.
Informações dadas:
\;x aproxima-se de \;2.
A expressão cujo limite precisamos avaliar é a função
f(x)=5x^{4}-3x^{2}+2x-2.
A tarefa é encontrar o valor numérico de k que é esse limite.

Passo 2

O que significa calcular \lim_{x\to a} f(x) de forma prática?
Intuitivamente, \lim_{x\to a} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x fica muito perto de a, sem necessariamente igualar x a a.
Uma propriedade muito útil (e frequentemente usada em provas) é: se f é contínua em a, então
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Ou seja, para funções contínuas podemos avaliar o limite simplesmente substituindo x por a.

Passo 3

Por que podemos afirmar que a função dada é contínua em x=2?
Regras básicas que vou usar (explico rápido):
  • A função x\mapsto x^{n} é contínua para todo n inteiro não negativo; isso significa que \lim_{x\to a} x^{n}=a^{n}.
  • Se g(x) e h(x) têm limite quando x\to a, então g(x)+h(x) e c\cdot g(x) também têm limite (soma e multiplicação por constante).
    A função dada é combinação linear (soma e produto por constantes) de potências x^{4}, x^{2} e x. Logo ela é contínua em todo ponto, em particular em x=2. Portanto vale a substituição:
\lim_{x\to 2}\bigl(5x^{4}-3x^{2}+2x-2\bigr)=5\cdot 2^{4}-3\cdot 2^{2}+2\cdot 2-2.

Passo 4

Agora vamos calcular passo a passo o valor numérico de
5\cdot 2^{4}-3\cdot 2^{2}+2\cdot 2-2.
Primeiro calcule as potências:
2^{2}=4, \qquad 2^{4}=(2^{2})^{2}=4^{2}=16.

Passo 5

Substituindo essas potências na expressão:
5\cdot 2^{4}-3\cdot 2^{2}+2\cdot 2-2 = 5\cdot 16 - 3\cdot 4 + 2\cdot 2 - 2.
Agora calcule cada termo:
5\cdot 16 = 80, \qquad 3\cdot 4 = 12, \qquad 2\cdot 2 = 4.

Passo 6

Somando e subtraindo os termos encontrados:
80 - 12 + 4 - 2.
Faça as operações da esquerda para a direita (ou agrupando):
80 - 12 = 68,
68 + 4 = 72,
72 - 2 = 70.

Passo 7

Concluímos, portanto, que o valor do limite pedido é 70. Ou seja, o número k que satisfaz o enunciado é 70.

Resposta

k=70

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