Determine
tal que:
Passo 1
O enunciado pede para determinar
tal que
Informações dadas:
aproxima-se de
.
A expressão cujo limite precisamos avaliar é a função
A expressão cujo limite precisamos avaliar é a função
A tarefa é encontrar o valor numérico de
que é esse limite.
Passo 2
O que significa calcular
de forma prática?
Intuitivamente, é o valor que
se aproxima quando
fica muito perto de
, sem necessariamente igualar
a
.
Uma propriedade muito útil (e frequentemente usada em provas) é: se é contínua em
, então
Intuitivamente,
Uma propriedade muito útil (e frequentemente usada em provas) é: se
Ou seja, para funções contínuas podemos avaliar o limite simplesmente substituindo
por
.
Passo 3
Por que podemos afirmar que a função dada é contínua em
?
Regras básicas que vou usar (explico rápido):
Regras básicas que vou usar (explico rápido):
- A função
é contínua para todo inteiro não negativo; isso significa que . - Se
e têm limite quando , então e também têm limite (soma e multiplicação por constante).
A função dada é combinação linear (soma e produto por constantes) de potências, e . Logo ela é contínua em todo ponto, em particular em . Portanto vale a substituição:
Passo 4
Agora vamos calcular passo a passo o valor numérico de
Primeiro calcule as potências:
Passo 5
Substituindo essas potências na expressão:
Agora calcule cada termo:
Passo 6
Somando e subtraindo os termos encontrados:
Faça as operações da esquerda para a direita (ou agrupando):
Passo 7
Concluímos, portanto, que o valor do limite pedido é
. Ou seja, o número
que satisfaz o enunciado é
.