O que o enunciado pede: verificar se existem os limites abaixo e, quando existirem, calcular o valor. São dez limites:
a) \displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^{3}-1}{|x-1|}
b) \displaystyle \lim_{x\to 3}|x-3|
c) \displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-3x+2}{x-1}
d) \displaystyle \lim_{x\to 5}\frac{x^{3}-6x^{2}+6x-5}{x^{2}-5x}
e) \displaystyle \lim_{x\to -4}\frac{x^{2}+3x-4}{x^{3}+4x^{2}-3x-12}
f) \displaystyle \lim_{x\to 8}\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}
g) \displaystyle \lim_{x\to 0}\bigl(\cos(x)-[[\sin(x)]]\bigr)
h) \displaystyle \lim_{x\to 0}\bigl(\sin(x)-[[\cos(x)]]\bigr)
i) \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\frac{x}{a}\left|\frac{b}{x}\right|
j) \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\bigl[[\tfrac{x}{a}]\bigr]
Informações relevantes dadas (explicitando tudo que vamos usar):
Há valores absolutos |\cdot| e colchetes duplos [[\cdot]]. Vou interpretar [[\cdot]] como a função parte inteira (função piso) \lfloor\cdot\rfloor, ou seja, \lfloor y\rfloor é o maior inteiro menor ou igual a y.
Alguns limites apresentam forma 0/0, então precisaremos fatorar e simplificar.
Em limites envolvendo funções trigonométricas em 0 usaremos aproximações básicas \sin x\approx x e \cos x\approx 1 quando x é muito pequeno, e também a propriedade de continuidade onde aplicável.
Para os itens com constantes a,b devo considerar os casos óbvios (por exemplo a=0 pode causar indeterminação/indefinição). Vou explicitar quando for necessário assumir a\neq 0.
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
a) Vamos analisar [\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^{3}-1}{|x-1|}).
Primeiro fatoramos o numerador usando a diferença de cubos. A identidade é
g) Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\bigl(\cos(x)-[[\sin(x)]]\bigr), onde [[\cdot]] é a parte inteira \lfloor\cdot\rfloor.
Vamos analisar o comportamento de \sin(x) para x próximo de 0. Sabemos que \sin(0)=0 e para x muito pequeno:
\sin(x)\approx x,
ou seja, quando x\to 0^{+} temos \sin(x)>0 pequeno, e quando x\to 0^{-} temos \sin(x)<0 pequeno (valor entre -\varepsilon e \varepsilon).
Para x positivo e pequeno, \sin(x)\in(0,1) explícita e estritamente menor que 1, então a parte inteira \lfloor\sin(x)\rfloor=0.
Para x negativo e pequeno (por exemplo -0{,}001), \sin(x)\in(-1,0), e a parte inteira \lfloor\sin(x)\rfloor=-1 porque é o maior inteiro menor ou igual a um número negativo entre -1 e 0.
Assim os limites laterais são:
Para x\to 0^{+}: \lfloor\sin(x)\rfloor=0 e \cos(x)\to 1. Logo o lado direito tende a 1-0=1.
Para x\to 0^{-}: \lfloor\sin(x)\rfloor=-1 e \cos(x)\to 1. Então o lado esquerdo tende a 1-(-1)=2.
Como os limites laterais são diferentes (1 e 2), o limite bilateral não existe.
Obs.: embora \cos(0)=1 e \lfloor\sin(0)\rfloor=\lfloor 0\rfloor=0, o valor no ponto não determina o limite bilateral quando os dois lados discordam.
Novamente interpretamos [[\cdot]] como \lfloor\cdot\rfloor. Vamos estudar \cos(x) para x pequeno. Sabemos que \cos(0)=1 e para x\neq 0 pequeno, \cos(x)<1 (porque a função cosseno tem máximo em 0 e decréscimo quadrático próximo a 0): mais precisamente
\cos(x)=1-\tfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2}),
portanto para x pequeno não nulo temos 0<\cos(x)<1.
Para todo x suficientemente próximo de 0 mas diferente de 0, \cos(x)\in(0,1). A parte inteira \lfloor\cos(x)\rfloor então vale 0 (pois é o maior inteiro menor ou igual a um número entre 0 e 1).
Assim, para x próximo de 0 com x\neq 0,
\sin(x)-\lfloor\cos(x)\rfloor=\sin(x)-0=\sin(x).
Como \sin(x)\to 0 quando x\to 0, obtemos
\lim_{x\to 0}\bigl(\sin(x)-[[\cos(x)]]\bigr)=0.
Observação: o valor no ponto x=0 seria \sin(0)-\lfloor\cos(0)\rfloor=0-\lfloor1\rfloor=0-1=-1, mas isso não altera o limite, porque limite considera aproximações com x\neq0.
desde que a\neq 0. Se a=0 a expressão não está definida e não há limite finito.
Passo 11
j) Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\bigl[[\tfrac{x}{a}]\bigr], isto é, \lim_{x\to 0^{+}}\lfloor x/a\rfloor.
O comportamento depende do sinal de a.
Caso a>0: Para x>0 pequeno, \tfrac{x}{a} é um número positivo pequeno em (0,\varepsilon). Então \lfloor x/a\rfloor=0. Assim para x\to 0^{+} a parte inteira é constantemente 0 e o limite é 0.
Caso a<0: Para x>0 pequeno, \tfrac{x}{a} é um número negativo pequeno (próximo de 0 pela esquerda), isto é \tfrac{x}{a}\in(-\varepsilon,0). Para números nessa faixa, \lfloor x/a\rfloor=-1 (pois é o maior inteiro ≤ número negativo entre -1 e 0). Então a parte inteira é constantemente -1 para x suficientemente pequeno e o limite é -1.
Caso a=0: expressão \tfrac{x}{a} não está definida, logo não há limite.
Conclusão:
se a>0 então \lim_{x\to 0^{+}}\lfloor x/a\rfloor=0;
se a<0 então \lim_{x\to 0^{+}}\lfloor x/a\rfloor=-1;
se a=0 o limite não está definido.
Resposta
a) não existe (limite à direita =3\), à esquerda \(=-3\)).
b) \(0\).
c) \(-1\).
d) \(\displaystyle \frac{21}{5}\).
e) \(\displaystyle -\frac{5}{13}\).
f) \(12\).
g) não existe (limite à direita \(=1\), à esquerda \(=2\)).
h) \(0\).
i) \(\displaystyle \frac{|b|}{a}\), assumindo \(a\neq 0\).
j) \(\displaystyle \begin{cases}0,&a>0,\\\ -1,&a<0,\\text{não definido},&a=0.\end{cases}