[6] Verifique se os seguintes limites existem:
a) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{|x-1|}
b) \lim _{x \rightarrow 3}|x-3|
c) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-3 x+2}{x-1}
d) \lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{3}-6 x^{2}+6 x-5}{x^{2}-5 x}
e) \lim _{x \rightarrow-4} \frac{x^{2}+3 x-4}{x^{3}+4 x^{2}-3 x-12}
f) \lim _{x \rightarrow 8} \frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}
g) \lim _{x \rightarrow 0}(\cos (x)-[[\operatorname{sen}(x)]])
h) \lim _{x \rightarrow 0}(\operatorname{sen}(x)-[[\cos (x)]])
i) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{a}\left|\frac{b}{x}\right|
j) \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left[\left[\frac{x}{a}\right]\right]

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se existem os limites abaixo e, quando existirem, calcular o valor. São dez limites:
a) \displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^{3}-1}{|x-1|}
b) \displaystyle \lim_{x\to 3}|x-3|
c) \displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-3x+2}{x-1}
d) \displaystyle \lim_{x\to 5}\frac{x^{3}-6x^{2}+6x-5}{x^{2}-5x}
e) \displaystyle \lim_{x\to -4}\frac{x^{2}+3x-4}{x^{3}+4x^{2}-3x-12}
f) \displaystyle \lim_{x\to 8}\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}
g) \displaystyle \lim_{x\to 0}\bigl(\cos(x)-[[\sin(x)]]\bigr)
h) \displaystyle \lim_{x\to 0}\bigl(\sin(x)-[[\cos(x)]]\bigr)
i) \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\frac{x}{a}\left|\frac{b}{x}\right|
j) \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\bigl[[\tfrac{x}{a}]\bigr]
Informações relevantes dadas (explicitando tudo que vamos usar):
  • Há valores absolutos |\cdot| e colchetes duplos [[\cdot]]. Vou interpretar [[\cdot]] como a função parte inteira (função piso) \lfloor\cdot\rfloor, ou seja, \lfloor y\rfloor é o maior inteiro menor ou igual a y.
  • Alguns limites apresentam forma 0/0, então precisaremos fatorar e simplificar.
  • Em limites envolvendo funções trigonométricas em 0 usaremos aproximações básicas \sin x\approx x e \cos x\approx 1 quando x é muito pequeno, e também a propriedade de continuidade onde aplicável.
  • Para os itens com constantes a,b devo considerar os casos óbvios (por exemplo a=0 pode causar indeterminação/indefinição). Vou explicitar quando for necessário assumir a\neq 0.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

a) Vamos analisar [\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^{3}-1}{|x-1|}).
  1. Primeiro fatoramos o numerador usando a diferença de cubos. A identidade é
x^{3}-1^{3}=(x-1)(x^{2}+x+1).
Portanto
\frac{x^{3}-1}{|x-1|}=\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{|x-1|}.
  1. A presença de |x-1| obriga a considerar limites laterais, porque (|x-1|= \begin{cases}x-1,&x>1,\\\ 1-x,&x<1.\end{cases}]
  2. Para x\to 1^{+} (pela direita) temos |x-1|=x-1. Então, para x\neq1 perto de 1,
\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{|x-1|}=\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x-1}=x^{2}+x+1.
Logo
\lim_{x\to 1^{+}}\frac{x^{3}-1}{|x-1|}=1^{2}+1+1=3.
  1. Para x\to 1^{-} (pela esquerda) temos |x-1|=1-x. Então
\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{|x-1|}=\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{1-x}=-(x^{2}+x+1).
Logo
\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x^{3}-1}{|x-1|}=-(1^{2}+1+1)=-3.
  1. Conclusão: as duas limites laterais são diferentes ( 3 e -3), portanto o limite bilateral não existe.

Passo 3

b) Vamos calcular \displaystyle \lim_{x\to 3}|x-3|.
  1. A função x\mapsto |x-3| é a distância de x a 3. Para qualquer x próximo de 3 temos |x-3|\ge 0 e se x\to 3 a distância tende a 0.
  2. Formalmente, tanto pelo lado direito quanto pelo lado esquerdo, |x-3|\to 0. Portanto
\lim_{x\to 3}|x-3|=0.

Passo 4

c) Calcular \displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-3x+2}{x-1}.
  1. Fatoramos o numerador: x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
  2. Para x\neq1 podemos cancelar o fator x-1:
\frac{x^{2}-3x+2}{x-1}=x-2.
  1. Como x-2 é contínua, o limite é simplesmente o valor em x=1:
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-3x+2}{x-1}=1-2=-1.

Passo 5

d) Calcular \displaystyle \lim_{x\to 5}\frac{x^{3}-6x^{2}+6x-5}{x^{2}-5x}.
  1. Verificamos que em x=5 tanto numerador quanto denominador são 0: P(5)=0, Q(5)=0. Então é caso 0/0 e devemos fatorar.
  2. Fatoramos o numerador por divisão sintética (ou sabemos que x=5 é raiz):
    Dividindo x^{3}-6x^{2}+6x-5 por (x-5) obtemos quociente x^{2}-x+1. Assim
x^{3}-6x^{2}+6x-5=(x-5)(x^{2}-x+1).
  1. O denominador fatora como
x^{2}-5x = x(x-5).
  1. Para x\neq5 podemos cancelar (x-5):
\frac{x^{3}-6x^{2}+6x-5}{x^{2}-5x}=\frac{(x-5)(x^{2}-x+1)}{x(x-5)}=\frac{x^{2}-x+1}{x}.
  1. Agora avaliamos em x\to5:
\lim_{x\to5}\frac{x^{2}-x+1}{x}=\frac{5^{2}-5+1}{5}=\frac{25-5+1}{5}=\frac{21}{5}.

Passo 6

e) Calcular \displaystyle \lim_{x\to -4}\frac{x^{2}+3x-4}{x^{3}+4x^{2}-3x-12}.
  1. Verificamos valores em x=-4: numerador (-4)^{2}+3(-4)-4=16-12-4=0. Denominador (-64)+64+12-12=0. Então forma 0/0.
  2. Fatoramos o numerador: x^{2}+3x-4=(x+4)(x-1).
  3. Fatoramos o denominador por agrupamento:
x^{3}+4x^{2}-3x-12 = (x^{3}+4x^{2})+(-3x-12) = x^{2}(x+4)-3(x+4)=(x+4)(x^{2}-3).
  1. Para x\neq -4 cancelamos (x+4):
\frac{x^{2}+3x-4}{x^{3}+4x^{2}-3x-12}=\frac{(x+4)(x-1)}{(x+4)(x^{2}-3)}=\frac{x-1}{x^{2}-3}.
  1. Avaliando em x=-4:
\lim_{x\to -4}\frac{x-1}{x^{2}-3}=\frac{-4-1}{(-4)^{2}-3}=\frac{-5}{16-3}=\frac{-5}{13}.

Passo 7

f) Calcular \displaystyle \lim_{x\to 8}\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}.
  1. Uma boa troca é colocar t=\sqrt[3]{x}. Então x=t^{3} e quando x\to 8 temos t\to 2.
  2. Reescrevemos a expressão em t:
\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}=\frac{t^{3}-2^{3}}{t-2}.
  1. Usamos a fatoração da diferença de cubos:
t^{3}-2^{3}=(t-2)(t^{2}+2t+4).
Cancelando t-2 (para t\neq2) obtemos t^{2}+2t+4.
  1. Avaliando em t\to2:
\lim_{t\to2}(t^{2}+2t+4)=2^{2}+2\cdot 2+4=4+4+4=12.
Portanto o limite pedido é 12.

Passo 8

g) Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\bigl(\cos(x)-[[\sin(x)]]\bigr), onde [[\cdot]] é a parte inteira \lfloor\cdot\rfloor.
  1. Vamos analisar o comportamento de \sin(x) para x próximo de 0. Sabemos que \sin(0)=0 e para x muito pequeno:
\sin(x)\approx x,
ou seja, quando x\to 0^{+} temos \sin(x)>0 pequeno, e quando x\to 0^{-} temos \sin(x)<0 pequeno (valor entre -\varepsilon e \varepsilon).
  1. Para x positivo e pequeno, \sin(x)\in(0,1) explícita e estritamente menor que 1, então a parte inteira \lfloor\sin(x)\rfloor=0.
  2. Para x negativo e pequeno (por exemplo -0{,}001), \sin(x)\in(-1,0), e a parte inteira \lfloor\sin(x)\rfloor=-1 porque é o maior inteiro menor ou igual a um número negativo entre -1 e 0.
  3. Assim os limites laterais são:
  • Para x\to 0^{+}: \lfloor\sin(x)\rfloor=0 e \cos(x)\to 1. Logo o lado direito tende a 1-0=1.
  • Para x\to 0^{-}: \lfloor\sin(x)\rfloor=-1 e \cos(x)\to 1. Então o lado esquerdo tende a 1-(-1)=2.
  1. Como os limites laterais são diferentes ( 1 e 2), o limite bilateral não existe.
Obs.: embora \cos(0)=1 e \lfloor\sin(0)\rfloor=\lfloor 0\rfloor=0, o valor no ponto não determina o limite bilateral quando os dois lados discordam.

Passo 9

h) Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\bigl(\sin(x)-[[\cos(x)]]\bigr).
  1. Novamente interpretamos [[\cdot]] como \lfloor\cdot\rfloor. Vamos estudar \cos(x) para x pequeno. Sabemos que \cos(0)=1 e para x\neq 0 pequeno, \cos(x)<1 (porque a função cosseno tem máximo em 0 e decréscimo quadrático próximo a 0): mais precisamente
\cos(x)=1-\tfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2}),
portanto para x pequeno não nulo temos 0<\cos(x)<1.
  1. Para todo x suficientemente próximo de 0 mas diferente de 0, \cos(x)\in(0,1). A parte inteira \lfloor\cos(x)\rfloor então vale 0 (pois é o maior inteiro menor ou igual a um número entre 0 e 1).
  2. Assim, para x próximo de 0 com x\neq 0,
\sin(x)-\lfloor\cos(x)\rfloor=\sin(x)-0=\sin(x).
  1. Como \sin(x)\to 0 quando x\to 0, obtemos
\lim_{x\to 0}\bigl(\sin(x)-[[\cos(x)]]\bigr)=0.
Observação: o valor no ponto x=0 seria \sin(0)-\lfloor\cos(0)\rfloor=0-\lfloor1\rfloor=0-1=-1, mas isso não altera o limite, porque limite considera aproximações com x\neq0.

Passo 10

i) Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\frac{x}{a}\left|\frac{b}{x}\right|.
  1. Para x>0 temos \left|\frac{b}{x}\right|=\frac{|b|}{x} (porque |b/x|=|b|/|x|=|b|/x já que x>0).
  2. Substituindo,
\frac{x}{a}\left|\frac{b}{x}\right|=\frac{x}{a}\cdot\frac{|b|}{x}=\frac{|b|}{a},
para todo x>0 (desde que a\neq 0, pois dividir por a=0 seria impossível).
  1. Assim a função é constante igual a \tfrac{|b|}{a} para x>0 suficientemente pequeno (de fato para todo x>0), portanto
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x}{a}\left|\frac{b}{x}\right|=\frac{|b|}{a},
desde que a\neq 0. Se a=0 a expressão não está definida e não há limite finito.

Passo 11

j) Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\bigl[[\tfrac{x}{a}]\bigr], isto é, \lim_{x\to 0^{+}}\lfloor x/a\rfloor.
  1. O comportamento depende do sinal de a.
  2. Caso a>0: Para x>0 pequeno, \tfrac{x}{a} é um número positivo pequeno em (0,\varepsilon). Então \lfloor x/a\rfloor=0. Assim para x\to 0^{+} a parte inteira é constantemente 0 e o limite é 0.
  3. Caso a<0: Para x>0 pequeno, \tfrac{x}{a} é um número negativo pequeno (próximo de 0 pela esquerda), isto é \tfrac{x}{a}\in(-\varepsilon,0). Para números nessa faixa, \lfloor x/a\rfloor=-1 (pois é o maior inteiro ≤ número negativo entre -1 e 0). Então a parte inteira é constantemente -1 para x suficientemente pequeno e o limite é -1.
  4. Caso a=0: expressão \tfrac{x}{a} não está definida, logo não há limite.
  5. Conclusão:
  • se a>0 então \lim_{x\to 0^{+}}\lfloor x/a\rfloor=0;
  • se a<0 então \lim_{x\to 0^{+}}\lfloor x/a\rfloor=-1;
  • se a=0 o limite não está definido.

Resposta

a) não existe (limite à direita =3\), à esquerda \(=-3\)). b) \(0\). c) \(-1\). d) \(\displaystyle \frac{21}{5}\). e) \(\displaystyle -\frac{5}{13}\). f) \(12\). g) não existe (limite à direita \(=1\), à esquerda \(=2\)). h) \(0\). i) \(\displaystyle \frac{|b|}{a}\), assumindo \(a\neq 0\). j) \(\displaystyle \begin{cases}0,&a>0,\\\ -1,&a<0,\\text{não definido},&a=0.\end{cases}

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