Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right).
Informações dadas: a variável x tende para +\infty e a expressão é a diferença entre x e \sqrt{x^{2}+1}.

Passo 2

Observação inicial (indeterminação): se você substituísse x por um número grande, tanto x quanto \sqrt{x^{2}+1} crescem sem limite, então a expressão tem a forma do tipo “ +\infty - +\infty”, que é uma indeterminação. Para resolver isso precisamos manipular algebraicamente a expressão para cancelar a diferença de grandes termos — uma técnica clássica é multiplicar numerador e denominador pela conjugada.
Multiplicamos pela conjugada x+\sqrt{x^{2}+1}. Isso não altera o valor, apenas reescreve a expressão de forma mais manejável:
x-\sqrt{x^{2}+1} = \frac{\bigl(x-\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)}{x+\sqrt{x^{2}+1}}.
No numerador aplica-se a identidade (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}. Com a=x e b=\sqrt{x^{2}+1} temos:
\bigl(x-\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr) = x^{2} - (x^{2}+1) = -1.
Logo a expressão fica
x-\sqrt{x^{2}+1} = \frac{-1}{\,x+\sqrt{x^{2}+1}\,}.

Passo 3

Análise do denominador para x>0: \sqrt{x^{2}+1} > x, então
x+\sqrt{x^{2}+1} > x+x = 2x.
Como o denominador é positivo e maior que 2x, a fração \dfrac{-1}{x+\sqrt{x^{2}+1}} é negativa e satisfaz
-\,\frac{1}{2x} < \frac{-1}{x+\sqrt{x^{2}+1}} < 0.
Aqui usei a desigualdade x+\sqrt{x^{2}+1}>2x para gerar uma cota superior em módulo.

Passo 4

Aplicando o teorema do confronto (squeeze): sabemos que
\lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{1}{2x}\right)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}0=0.
Como a expressão está presa entre esses dois limites, pela squeeze theorem temos
\lim_{x\to+\infty}\frac{-1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}=0.
Além disso, a expressão é sempre negativa para x>0, então o limite é 0 vindo pelo lado negativo (mas o valor limite é 0).
Conclusão: o limite pedido iguala-se a 0.

Resposta

\,0\,

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