Calcule os seguintes limites no infinito:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: a variável
tende para
e a expressão é a diferença entre
e
.
Passo 2
Observação inicial (indeterminação): se você substituísse
por um número grande, tanto
quanto
crescem sem limite, então a expressão tem a forma do tipo “
”, que é uma indeterminação. Para resolver isso precisamos manipular algebraicamente a expressão para cancelar a diferença de grandes termos — uma técnica clássica é multiplicar numerador e denominador pela conjugada.
Multiplicamos pela conjugada . Isso não altera o valor, apenas reescreve a expressão de forma mais manejável:
Multiplicamos pela conjugada
No numerador aplica-se a identidade
. Com
e
temos:
Logo a expressão fica
Passo 3
Análise do denominador para
:
, então
Como o denominador é positivo e maior que
, a fração
é negativa e satisfaz
Aqui usei a desigualdade
para gerar uma cota superior em módulo.
Passo 4
Aplicando o teorema do confronto (squeeze): sabemos que
Como a expressão está presa entre esses dois limites, pela squeeze theorem temos
Além disso, a expressão é sempre negativa para
, então o limite é
vindo pelo lado negativo (mas o valor limite é
).
Conclusão: o limite pedido iguala-se a .
Conclusão: o limite pedido iguala-se a