e a solução particular satisfazendo a condição inicial u(0)=1.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
t\,u'(t)+u(t)^{2}=4
e pede duas coisas:
encontrar a família de soluções dessa EDO;
encontrar (se existir) a solução particular que satisfaz a condição inicial u(0)=1.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
A variável independente é t e a dependente é u(t).
A equação escrita pode ser rearranjada para isolar u' dividindo por t — isso exige cuidado porque a divisão por t só é válida para t\neq 0. Logo a manipulação direta será feita para t\neq 0.
Deve-se verificar também a existência de soluções constantes (casos em que u'\equiv 0), porque ao separar termos podemos ter perdido essas soluções especiais.
Passo 2
Reescrevendo a equação para isolar u' (para t\neq 0):
Isto é uma equação separável (para t\neq 0): podemos separar as variáveis u e t como
\frac{du}{4-u^{2}} = \frac{dt}{t}.
Breve explicação do método separável: quando uma EDO pode ser posta na forma g(u)\,du = h(t)\,dt, integra-se ambos os lados para obter uma relação entre u e t com uma constante de integração. Aqui g(u)=1/(4-u^2) e h(t)=1/t.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados. Primeiro decompor em frações parciais a integranda em u:
\frac{1}{4-u^{2}}=\frac{1}{(2-u)(2+u)}.
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{(2-u)(2+u)}=\frac{A}{2+u}+\frac{B}{2-u}.
Multiplicando por (2+u)(2-u) obtemos
1 = A(2-u)+B(2+u).
Comparando coeficientes: do termo em u vem -A+B=0 (logo B=A); do termo constante vem 2A+2B=1 (logo 4A=1, A=\tfrac{1}{4}). Assim A=B=\tfrac{1}{4}. Portanto
Definindo a constante arbitrária K=\pm e^{4C} (que pode ser qualquer número real não nulo), obtemos
\frac{2+u}{2-u} = K\,t^{4}.
Agora resolvemos para u. Multiplicando:
2+u = K t^{4}(2-u) = 2K t^{4} - K t^{4} u.
Agrupando os termos em u:
u + K t^{4} u = 2K t^{4} - 2 \quad\Rightarrow\quad u(1 + K t^{4}) = 2(K t^{4} - 1).
Logo, para t\neq 0 e 1+K t^{4}\neq 0,
u(t) = 2\,\frac{K t^{4} - 1}{1 + K t^{4}}.
Esta é a família de soluções gerais obtida pela separação, válida em intervalos onde t\neq 0 (e onde 1+K t^{4}\neq 0, embora 1+K t^{4}=0 só ocorra para K<0 em pontos específicos de t; esses pontos indicam possíveis assíntotas ou descontinuidade da fórmula).
Passo 5
As soluções constantes devem ser verificadas separadamente, porque na separação dividimos por 4-u^{2} e poderíamos ter perdido casos em que 4-u^{2}=0. Se u é constante então u'\equiv 0 e a equação original dá
0 + u^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad u^{2}=4,
portanto as constantes soluções são
u(t)\equiv 2 \quad\text{e}\quad u(t)\equiv -2.
Assim a família completa de soluções (em regiões onde a EDO é válida, i.e. excluindo t=0) é:
u(t)=2\,\frac{K t^{4} - 1}{1 + K t^{4}}\quad (K\in\mathbb{R},\\ t\neq 0)
juntamente com as soluções constantes u\equiv 2 e u\equiv -2.
Passo 6
Agora tratamos da condição inicial u(0)=1. Primeiro observe que a EDO original envolve divisão por t ao isolar u', então t=0 é um ponto singular da equação; a EDO não impõe uma expressão para u'(0). Para verificar se existe alguma solução que passe por (0,1) devemos ver se alguma solução (contínua) definida num intervalo contendo 0 pode ter valor 1 em t=0.
Examinando a família não-constante encontrada, calcule o limite quando t\to 0:
Ou seja, qualquer solução não-constante da forma dada tende a -2 quando t\to 0. As soluções constantes possíveis em t=0 são apenas u\equiv 2 ou u\equiv -2. Portanto nenhum membro da família (nem as constantes admissíveis) atinge o valor u(0)=1.
Conclusão: não existe solução da EDO definida em um intervalo contendo t=0 que satisfaça u(0)=1. Em outras palavras, a condição inicial u(0)=1 é incompatível com a equação (o ponto t=0 é singular e nenhuma solução passa por (0,1)).
Resposta
u(t)=2\,\dfrac{K t^{4}-1}{1+K t^{4}}, com K\in\mathbb{R} (válida para t\neq 0), e as soluções constantes u\equiv 2 e u\equiv -2.
Não existe solução da EDO que satisfaça u(0)=1.