[7.] Encontre as soluções da EDO,
Sugestão: É da forma
, transforme a EDO em separável. Faça
. Então
e derive
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede: encontrar as soluções
. Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão contém divisões por
e por ; portanto a equação só faz sentido onde e . - Foi sugerida a substituição
. Essa sugestão faz parte dos dados do enunciado (pediu: faça e derive ). - Não há condição inicial dada; portanto procuramos a família geral de soluções (com constante de integração).
Passo 2
Fazer a substituição sugerida: defina
Então podemos escrever
Vou derivar
em termos de
usando a regra do produto. A regra do produto diz que a derivada de
é
. Assim
Aqui
significa
.
Passo 3
Substituir
e
na equação original. A equação original é
Substituindo, obtemos
Simplificando os termos do lado direito:
Portanto a igualdade fica
Passo 4
Cancelar
dos dois lados (eles aparecem igual nos dois lados), restando
Agora escrevemos
e rearranjamos para obter uma equação separável:
A ideia de uma equação separável é exatamente essa: colocar todos os termos em
com
num lado e todos os termos em
com
no outro lado, para então integrar.
Passo 5
Integrar ambos os lados. Integramos em
à esquerda e em
à direita:
Calcule as integrais:
onde
é a constante de integração (real). Repare que a integral de
é
, por isso o valor absoluto.
Passo 6
Multiplicar por
e reescrever a constante para simplificar:
onde
é outra constante arbitrária real. Agora tomamos raiz quadrada (lembrando do sinal ±):
Lembre que para soluções reais é necessário que
; além disso
por causa do
e das divisões originais.
Passo 7
Voltar à variável original
. Assim a família geral de soluções (reais) é
onde
é constante de integração e o domínio é dado por
e
(caso se queira a solução real). Não existem soluções constantes
constante diferentes de zero que satisfaçam a equação (se
então a equação implicaria
, impossível), e a solução
não é admissível porque a equação original tem termo
.
Passo 8
Breve checagem rápida (para confiança): se
com
como acima, então a derivada
e, pela manipulação acima,
, o que conduz de volta à igualdade
. Ou seja, a família encontrada satisfaz a EDO nas regiões em que as expressões estão definidas.