[7.] Encontre as soluções da EDO,
u^{\prime}=\frac{u}{t}+\frac{t}{u}
Sugestão: É da forma u^{\prime}=f(u / t), transforme a EDO em separável. Faça v=u / t. Então f(u / t)=f(v) e derive u=v t.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
u'(t)=\frac{u(t)}{t}+\frac{t}{u(t)}
e pede: encontrar as soluções u(t). Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão contém divisões por t e por u(t); portanto a equação só faz sentido onde t\neq0 e u(t)\neq0.
  • Foi sugerida a substituição v=u/t. Essa sugestão faz parte dos dados do enunciado (pediu: faça v=u/t e derive u=v t).
  • Não há condição inicial dada; portanto procuramos a família geral de soluções (com constante de integração).

Passo 2

Fazer a substituição sugerida: defina
v(t)=\frac{u(t)}{t}.
Então podemos escrever
u(t)=v(t)\,t.
Vou derivar u(t) em termos de v(t) usando a regra do produto. A regra do produto diz que a derivada de v(t)\,t é v'(t)\,t+v(t). Assim
u'(t)=v'(t)\,t+v(t).
Aqui v'(t) significa \dfrac{dv}{dt}.

Passo 3

Substituir u(t)=v(t)\,t e u'(t)=t v'(t)+v(t) na equação original. A equação original é
u'(t)=\frac{u(t)}{t}+\frac{t}{u(t)}.
Substituindo, obtemos
t v'(t)+v(t)=\frac{v(t)\,t}{t}+\frac{t}{v(t)\,t}.
Simplificando os termos do lado direito:
\frac{v(t)\,t}{t}=v(t),\qquad \frac{t}{v(t)\,t}=\frac{1}{v(t)}.
Portanto a igualdade fica
t v'(t)+v(t)=v(t)+\frac{1}{v(t)}.

Passo 4

Cancelar v(t) dos dois lados (eles aparecem igual nos dois lados), restando
t v'(t)=\frac{1}{v(t)}.
Agora escrevemos v'(t)=\dfrac{dv}{dt} e rearranjamos para obter uma equação separável:
t\frac{dv}{dt}=\frac{1}{v}\quad\Longrightarrow\quad v\,dv=\frac{dt}{t}.
A ideia de uma equação separável é exatamente essa: colocar todos os termos em v com dv num lado e todos os termos em t com dt no outro lado, para então integrar.

Passo 5

Integrar ambos os lados. Integramos em v à esquerda e em t à direita:
\int v\,dv=\int \frac{dt}{t}.
Calcule as integrais:
\frac{1}{2}v^2=\ln|t|+C,
onde C é a constante de integração (real). Repare que a integral de 1/t é \ln|t|, por isso o valor absoluto.

Passo 6

Multiplicar por 2 e reescrever a constante para simplificar:
v^2=2\ln|t|+C_1,
onde C_1=2C é outra constante arbitrária real. Agora tomamos raiz quadrada (lembrando do sinal ±):
v(t)=\pm\sqrt{\,2\ln|t|+C_1\,}.
Lembre que para soluções reais é necessário que 2\ln|t|+C_1\ge 0; além disso t\neq0 por causa do \ln|t| e das divisões originais.

Passo 7

Voltar à variável original u(t)=v(t)\,t. Assim a família geral de soluções (reais) é
u(t)=t\;v(t)=\pm t\sqrt{\,2\ln|t|+C_1\,},
onde C_1\in\mathbb{R} é constante de integração e o domínio é dado por t\neq0 e 2\ln|t|+C_1\ge0 (caso se queira a solução real). Não existem soluções constantes u\equiv constante diferentes de zero que satisfaçam a equação (se v'\equiv0 então a equação implicaria 1/v=0, impossível), e a solução u\equiv0 não é admissível porque a equação original tem termo t/u.

Passo 8

Breve checagem rápida (para confiança): se u(t)=t\,v(t) com v como acima, então a derivada u'(t)=v+t v' e, pela manipulação acima, t v' = 1/v, o que conduz de volta à igualdade u'=\dfrac{u}{t}+\dfrac{t}{u}. Ou seja, a família encontrada satisfaz a EDO nas regiões em que as expressões estão definidas.

Resposta

u(t)=\pm t\sqrt{\,2\ln|t|+C\,},\qquad C\in\mathbb{R}.

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