Resolva os problemas do valor inicial seguintes
\quad P^{\prime}=2 P(1-P), \quad P(0)=\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial inicial e pede a solução com a condição inicial. Escrevendo claramente (peguei estes dados do enunciado):
P' = 2P(1-P), \qquad P(0)=\tfrac{1}{2}.
O que se deseja obter é a função P(t) que satisfaz essa equação diferencial para todos t (naqueles instantes em que P está definida) e que verifica a condição inicial indicada.

Passo 2

Identificar a forma da equação e separar variáveis. A equação pode ser rearranjada para colocar todos os termos com P em um lado e os termos com t no outro; isto chama-se separação de variáveis. Dividindo ambos os lados por P(1-P) (assumindo momentaneamente P\neq0 e P\neq1) e multiplicando por dt, obtemos:
\frac{dP}{P(1-P)} = 2\,dt.
Explicando: \,dP é a variação infinitesimal de P e \,dt a variação infinitesimal do tempo; a técnica de separação consiste em integrar cada lado em relação à sua variável (lado esquerdo em P, lado direito em t).

Passo 3

Resolver a integral do lado esquerdo usando frações parciais. Queremos integrar
\int \frac{dP}{P(1-P)}.
Fazendo a decomposição em frações parciais, buscamos constantes A e B tais que
\frac{1}{P(1-P)}=\frac{A}{P}+\frac{B}{1-P}.
Multiplicando por P(1-P) obtemos
1 = A(1-P) + B P = A + (B-A)P.
Comparando coeficientes, vem A=1 e B-A=0\Rightarrow B=1. Logo
\frac{1}{P(1-P)}=\frac{1}{P}+\frac{1}{1-P}.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Substituindo a decomposição, temos
\int\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{1-P}\right)dP = \int 2\,dt.
Calcule as integrais separadamente. Lembrando que \int \frac{1}{P}\,dP=\ln|P| + C e \int \frac{1}{1-P}\,dP=-\ln|1-P| + C, obtemos
\ln|P| - \ln|1-P| = 2t + C,
onde C é constante de integração. Usando propriedades dos logaritmos,
\ln\!\left|\frac{P}{1-P}\right| = 2t + C.
Observação prática: para populações ou probabilidades normalmente se busca soluções com 0<P<1, onde o argumento do logaritmo é positivo, permitindo remover valor absoluto sem complicação.

Passo 5

Resolver para P explicitamente. Exponenciando ambos os lados, definindo C_1=e^{C} (uma constante positiva), tem-se
\frac{P}{1-P} = C_1 e^{2t}.
Isolando P:
P = C_1 e^{2t}(1-P) \quad\Rightarrow\quad P\big(1 + C_1 e^{2t}\big) = C_1 e^{2t} \quad\Rightarrow\quad P(t)=\frac{C_1 e^{2t}}{1 + C_1 e^{2t}}.
Uma forma equivalente, frequentemente mais conveniente, é dividir numerador e denominador por C_1 e^{2t} ou reescrever com uma constante C_2=1/C_1:
P(t)=\frac{1}{1 + C_2 e^{-2t}}.

Passo 6

Determinar a constante usando a condição inicial P(0)=\tfrac{1}{2}. Usando a forma P(t)=\dfrac{C_1 e^{2t}}{1+C_1 e^{2t}} e avaliando em t=0:
\frac{C_1}{1+C_1} = \tfrac{1}{2}.
Resolva para C_1:
2C_1 = 1 + C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = 1.
Assim a solução particular é
P(t) = \frac{e^{2t}}{1 + e^{2t}}.
Reescrevendo na forma mais comum:
P(t)=\frac{1}{1+e^{-2t}}.

Passo 7

Verificação rápida e comportamento qualitativo. Podemos verificar que a solução encontrada satisfaz a equação diferenciando-a:
P(t)=\frac{1}{1+e^{-2t}},\quad P'(t)=\frac{2e^{-2t}}{(1+e^{-2t})^{2}}.
Também
2P(1-P)=2\cdot\frac{1}{1+e^{-2t}}\cdot\frac{e^{-2t}}{1+e^{-2t}}=\frac{2e^{-2t}}{(1+e^{-2t})^{2}}=P'(t),
logo a equação diferencial é satisfeita. Quanto ao comportamento quando t\to\infty e t\to -\infty:
\lim_{t\to\infty}P(t)=1,\qquad \lim_{t\to -\infty}P(t)=0,
portanto a solução parte de P(0)=\tfrac{1}{2} e cresce monotonicamente para 1. Pequena palavra de ânimo: resolver separados, fazer frações parciais e aplicar a condição inicial é a receita padrão — se repetir algumas vezes fica automático!

Resposta

\displaystyle P(t)=\frac{1}{1+e^{-2t}}

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