Resolva os problemas do valor inicial seguintes \quad P^{\prime}=2 P(1-P), \quad P(0)=\frac{1}{2}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial inicial e pede a solução com a condição inicial. Escrevendo claramente (peguei estes dados do enunciado):
P' = 2P(1-P), \qquad P(0)=\tfrac{1}{2}.
O que se deseja obter é a função P(t) que satisfaz essa equação diferencial para todos t (naqueles instantes em que P está definida) e que verifica a condição inicial indicada.
Passo 2
Identificar a forma da equação e separar variáveis. A equação pode ser rearranjada para colocar todos os termos com P em um lado e os termos com t no outro; isto chama-se separação de variáveis. Dividindo ambos os lados por P(1-P) (assumindo momentaneamente P\neq0 e P\neq1) e multiplicando por dt, obtemos:
\frac{dP}{P(1-P)} = 2\,dt.
Explicando: \,dP é a variação infinitesimal de P e \,dt a variação infinitesimal do tempo; a técnica de separação consiste em integrar cada lado em relação à sua variável (lado esquerdo em P, lado direito em t).
Passo 3
Resolver a integral do lado esquerdo usando frações parciais. Queremos integrar
\int \frac{dP}{P(1-P)}.
Fazendo a decomposição em frações parciais, buscamos constantes A e B tais que
\frac{1}{P(1-P)}=\frac{A}{P}+\frac{B}{1-P}.
Multiplicando por P(1-P) obtemos
1 = A(1-P) + B P = A + (B-A)P.
Comparando coeficientes, vem A=1 e B-A=0\Rightarrow B=1. Logo
\frac{1}{P(1-P)}=\frac{1}{P}+\frac{1}{1-P}.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Substituindo a decomposição, temos
Calcule as integrais separadamente. Lembrando que \int \frac{1}{P}\,dP=\ln|P| + C e \int \frac{1}{1-P}\,dP=-\ln|1-P| + C, obtemos
\ln|P| - \ln|1-P| = 2t + C,
onde C é constante de integração. Usando propriedades dos logaritmos,
\ln\!\left|\frac{P}{1-P}\right| = 2t + C.
Observação prática: para populações ou probabilidades normalmente se busca soluções com 0<P<1, onde o argumento do logaritmo é positivo, permitindo remover valor absoluto sem complicação.
Passo 5
Resolver para P explicitamente. Exponenciando ambos os lados, definindo C_1=e^{C} (uma constante positiva), tem-se
portanto a solução parte de P(0)=\tfrac{1}{2} e cresce monotonicamente para 1. Pequena palavra de ânimo: resolver separados, fazer frações parciais e aplicar a condição inicial é a receita padrão — se repetir algumas vezes fica automático!