[6.] Mostre que a seguinte EDO é separável,
u^{\prime}+p(t) u=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
u^{\prime}+p(t)\,u=0
e pede para mostrar que ela é separável. Ou seja, preciso mostrar que dá para escrever a equação na forma
g(u)\,du = h(t)\,dt
e então integrar para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro lembro que u^{\prime} significa a derivada de u em relação a t, isto é
u^{\prime}=\frac{du}{dt}.
Reescrevendo a EDO isolando u^{\prime} obtenho
\frac{du}{dt} = -p(t)\,u.

Passo 3

Para separar as variáveis quero colocar todos os termos que dependem de u de um lado e os que dependem de t do outro. Divido ambos os lados por u (a divisão é válida sempre que u\neq0; a função u\equiv0 é uma solução trivial que tratamos depois):
\frac{1}{u}\,\frac{du}{dt} = -p(t).
Agora multiplico ambos os lados por dt para obter a forma separada:
\frac{1}{u}\,du = -p(t)\,dt.
Pronto: escrevi a equação no formato g(u)\,du = h(t)\,dt, logo a EDO é separável.

Passo 4

Agora integro os dois lados. A primitiva de 1/u em relação a u é \ln|u|, e a primitiva de -p(t) em relação a t é -\int p(t)\,dt. Assim:
\int \frac{1}{u}\,du = \int -p(t)\,dt
\ln|u| = -\int p(t)\,dt + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para isolar u exponencio ambos os lados:
|u| = e^{C}\,e^{-\int p(t)\,dt}.
Escrevo e^{C} como uma nova constante positiva C_1>0. Admitindo sinal arbitrário (absorvendo o sinal em uma constante real C) obtenho a solução geral
u(t) = C\,\exp\!\left(-\int p(t)\,dt\right),
onde C\in\mathbb{R} é a constante arbitrária. A escolha C=0 corresponde à solução trivial u\equiv0.

Passo 6

Verificação rápida: calcule u^{\prime} a partir de u(t)=C e^{-\int p}:
u^{\prime}(t)=C\left(-p(t)\right)e^{-\int p(t)\,dt}=-p(t)\,u(t),
logo a expressão satisfaz a equação original, confirmando que está correta.

Resposta

u(t)=C\,\exp\!\left(-\displaystyle\int p(t)\,dt\right)

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