[6.] Mostre que a seguinte EDO é separável,
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
e pede para mostrar que ela é separável. Ou seja, preciso mostrar que dá para escrever a equação na forma
e então integrar para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro lembro que
significa a derivada de
em relação a
, isto é
Reescrevendo a EDO isolando
obtenho
Passo 3
Para separar as variáveis quero colocar todos os termos que dependem de
de um lado e os que dependem de
do outro. Divido ambos os lados por
(a divisão é válida sempre que
; a função
é uma solução trivial que tratamos depois):
Agora multiplico ambos os lados por
para obter a forma separada:
Pronto: escrevi a equação no formato
, logo a EDO é separável.
Passo 4
Agora integro os dois lados. A primitiva de
em relação a
é
, e a primitiva de
em relação a
é
. Assim:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para isolar
exponencio ambos os lados:
Escrevo
como uma nova constante positiva
. Admitindo sinal arbitrário (absorvendo o sinal em uma constante real
) obtenho a solução geral
onde
é a constante arbitrária. A escolha
corresponde à solução trivial
.
Passo 6
Verificação rápida: calcule
a partir de
:
logo a expressão satisfaz a equação original, confirmando que está correta.