Resolva os problemas do valor inicial seguintes
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por
Informações fornecidas:
- A equação diferencial é de primeira ordem e envolve as funções
e . - A condição inicial é
.
O objetivo é encontrar a funçãoque satisfaz a equação diferencial para em algum intervalo contendo e que também satisfaça a condição inicial.
Passo 2
Vamos tentar separar as variáveis (colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro). Escrevendo
e dividindo por
e multiplicando por
obtemos
Explicando devagar:
significa a derivada de
em relação a
. Ao trocar de lado, a ideia é integrar ambos os lados em relação a
— mas primeiro colocamos a parte que depende de
multiplicando
e a parte que depende de
multiplicando
. Note que
, que é uma função somente de
, então a separação está pronta.
Passo 3
Agora integramos os dois lados. Temos uma integral em
à esquerda e uma integral em
à direita:
Explicando as integrais:
- A primitiva de
em relação a é , porque . - A primitiva de
em relação a é .
Portanto, após integrar obtemos (incluir constante de integração):
onde
é uma constante real.
Passo 4
Agora usamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
na igualdade anterior:
Portanto
Substituindo de volta, obtemos a relação explícita entre
e
:
Passo 5
A partir da equação
, formalmente as soluções
satisfazem
porque a tangente é periódica com período
. Agora precisamos escolher o inteiro
que respeita a condição inicial e a continuidade da solução: em
o lado direito vale
. Como
(em radianos) está no intervalo
, tem-se
. Para satisfazer
devemos tomar
. Além disso, pela teoria de existência e unicidade (o lado direito da ODE é suave em
e contínuo em
), a solução que passa por
é única e contínua, portanto a escolha
permanece para todo
no domínio da solução.
Passo 6
Verificação rápida (importante para a prova): se definirmos
então por regra da cadeia
Como
, temos
ou seja, a função encontrada satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. O domínio da solução é todo
, porque
é definido para todo
e
aceita qualquer argumento real.