Resolva os problemas do valor inicial seguintes
\quad x^{\prime}=(t+1) \cos ^{2}(x), \quad x(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por
x'(t) = (t+1)\cos^{2}\big(x(t)\big),\qquad x(0)=1.
Informações fornecidas:
  • A equação diferencial é de primeira ordem e envolve as funções t e x(t).
  • A condição inicial é x(0)=1.
    O objetivo é encontrar a função x(t) que satisfaz a equação diferencial para t em algum intervalo contendo 0 e que também satisfaça a condição inicial.

Passo 2

Vamos tentar separar as variáveis (colocar todos os termos com x de um lado e os termos com t do outro). Escrevendo \dfrac{dx}{dt}=(t+1)\cos^{2}(x) e dividindo por \cos^{2}(x) e multiplicando por dt obtemos
\frac{dx}{\cos^{2}(x)} = (t+1)\,dt.
Explicando devagar: \dfrac{dx}{dt} significa a derivada de x em relação a t. Ao trocar de lado, a ideia é integrar ambos os lados em relação a t — mas primeiro colocamos a parte que depende de x multiplicando dx e a parte que depende de t multiplicando dt. Note que \dfrac{1}{\cos^{2}(x)}=\operatorname{sec}^{2}(x), que é uma função somente de x, então a separação está pronta.

Passo 3

Agora integramos os dois lados. Temos uma integral em x à esquerda e uma integral em t à direita:
\int \frac{dx}{\cos^{2}(x)} = \int (t+1)\,dt.
Explicando as integrais:
  • A primitiva de \dfrac{1}{\cos^{2}(x)} em relação a x é \tan(x), porque \dfrac{d}{dx}\tan(x)=\operatorname{sec}^{2}(x)=\dfrac{1}{\cos^{2}(x)}.
  • A primitiva de t+1 em relação a t é \dfrac{t^{2}}{2}+t.
    Portanto, após integrar obtemos (incluir constante de integração):
\tan\big(x(t)\big) = \frac{t^{2}}{2}+t + C,
onde C é uma constante real.

Passo 4

Agora usamos a condição inicial \;x(0)=1\; para determinar C. Substituindo t=0 e x(0)=1 na igualdade anterior:
\tan\big(x(0)\big)=\tan(1)=\frac{0^{2}}{2}+0 + C = C.
Portanto
C = \tan(1).
Substituindo de volta, obtemos a relação explícita entre \tan(x(t)) e t:
\tan\big(x(t)\big) = \frac{t^{2}}{2}+t + \tan(1).

Passo 5

A partir da equação \tan\big(x(t)\big)=\dfrac{t^{2}}{2}+t+\tan(1), formalmente as soluções x(t) satisfazem
x(t) = \arctan\!\left(\frac{t^{2}}{2}+t+\tan(1)\right) + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
porque a tangente é periódica com período \pi. Agora precisamos escolher o inteiro k que respeita a condição inicial e a continuidade da solução: em t=0 o lado direito vale \arctan(\tan(1))+k\pi. Como 1 (em radianos) está no intervalo (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), tem-se \arctan(\tan(1))=1. Para satisfazer x(0)=1 devemos tomar k=0. Além disso, pela teoria de existência e unicidade (o lado direito da ODE é suave em x e contínuo em t), a solução que passa por x(0)=1 é única e contínua, portanto a escolha k=0 permanece para todo t no domínio da solução.

Passo 6

Verificação rápida (importante para a prova): se definirmos
u(t)=\frac{t^{2}}{2}+t+\tan(1), \qquad x(t)=\arctan\big(u(t)\big),
então por regra da cadeia
x'(t)=\frac{u'(t)}{1+u(t)^{2}}=\frac{t+1}{1+\tan^{2}(x(t))}.
Como 1+\tan^{2}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x)=\dfrac{1}{\cos^{2}(x)}, temos
x'(t)=(t+1)\cos^{2}\big(x(t)\big),
ou seja, a função encontrada satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. O domínio da solução é todo \mathbb{R}, porque u(t) é definido para todo t e \arctan aceita qualquer argumento real.

Resposta

x(t)=\arctan\!\left(\dfrac{t^{2}}{2}+t+\tan(1)\right)

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