(2.5… pontos) Considere uma corda de comprimento L=5 m, cujas extremidades estão fixas e submetidas a uma tensão tal que a velocidade da onda será de v=10 cm / s. Sobre esta corda é gerado continuamente uma onda em uma das extremidades de acordo com a equação:
y(x, t)=(6 cm) sin [(8 cm^-1) x-(10 s^-1) t]
i) Qual é a expressão para a onda refletida yR(x, t) ? ii) Determine a superposição das ondas y(x, t) e yR(x, t). iiii) A resposta (ii) representa uma onda estacionária, se sim, qual o número harmônico gerado? Justifique a resposta. iv) Responda (iii) para o caso em que a tensão da corda seja tal que a velocidade da onda seja 10 / pi cm / s.
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Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma corda de comprimento L=5, m=500,cm com as extremidades em x=0 e x=L fixas. É gerada em x=0 uma onda incidente de amplitude A=6,cm, número de onda k=8,cm^-1 e pulsação omega=10,s^-1, segundo
y(x,t)=6sinl(8x-10tr)(cm)
Conteúdo: reflexão em extremidade fixa, formação de onda estacionária e quantização de modos normais.

Passo 2

Expressão da onda refletida yR(x,t): ela viaja em direção negativa e sofre inversão de fase pi ao refletir em x=L. Uma forma usual é
yR(x,t)=-6sinl[k,(2L - x)-omega tr] =-6sinl(8,(2cdot500 - x)-10tr)

Passo 3

Superposição ytot=y+yR. Use a identidade
sinalpha-sinbeta=2cos!l(tfracalpha+beta2r)sin!l(tfracalpha-beta2r)
Aqui
alpha=8x-10t, beta=8(1000-x)-10t=8000-8x-10t
Então
ytot=6sinalpha-6sinbeta =12cosl(tfracalpha+beta2r), sinl(tfracalpha-beta2r)
Calculando
tfracalpha+beta2= tfrac8x-10t+8000-8x-10t2=4000-10t,
tfracalpha-beta2= tfrac8x-10t-(8000-8x-10t)2=8x-4000
Logo
ytot=12cosl(4000-10tr),sinl(8x-4000r)

Passo 4

Forma de onda estacionária: escrevemos 8x-4000 = kx - kL e 4000-10t = kL -omega t, pois kL=8cdot500=4000. Assim
ytot=12sinl(kx-kLr),cosl(kL-omega tr),
que é a típica forma de onda estacionária 2Asin[k(x-L)]cos(omega t -kL).

Passo 5

Condição de modos normais em extremidades fixas: deve haver nós em x=0 e x=L. Em x=L, sin[k(L)-kL]=sin0=0 satisfaz; em x=0, sin[-kL]=0 exige
kL = npi, nin Z
Como aqui kL=8cdot500=4000, temos
n = kLpi=4000piapprox1273,2,
que não é inteiro. Portanto, para a velocidade v=10,cm/s dada, não ocorre um modo normal (não se forma onda estacionária compatível com as extremidades).

Passo 6

Agora suponha que a tensão seja alterada para que a velocidade valha v'=10/pi,cm/s. A onda forçada em x=0 mantém omega=10 fixo, mas passa a ter número de onda
k'=omegav'=1010/pi=pi;cm^-1
Nesse caso o comprimento de onda é lambda'=2pi/k'=2,cm, e o número de meio-comprimentos na corda é
n=2Llambda'=2cdot5002=500,
que é inteiro. Assim forma-se uma onda estacionária, de harmônico n=500.

Resposta

i) yR(x,t)=-6sinl(8(1000-x)-10tr)
ii) ytot=12cos(4000-10t),sin(8x-4000)
iii) Para v=10,cm/s não se obtém kL=npi com nin Z, logo não há modo normal.
iv) Para v'=10/pi,cm/s obtém-se k'L=npi com n=500, isto é, forma-se o 500º harmônico.

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