(2.5… pontos) Considere uma corda de comprimento
, cujas extremidades estão fixas e submetidas a uma tensão tal que a velocidade da onda será de
. Sobre esta corda é gerado continuamente uma onda em uma das extremidades de acordo com a equação:
i) Qual é a expressão para a onda refletida
? ii) Determine a superposição das ondas
e
. iiii) A resposta (ii) representa uma onda estacionária, se sim, qual o número harmônico gerado? Justifique a resposta. iv) Responda (iii) para o caso em que a tensão da corda seja tal que a velocidade da onda seja
.
1
1
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma corda de comprimento
com as extremidades em
e
fixas. É gerada em
uma onda incidente de amplitude
, número de onda
e pulsação
, segundo
Conteúdo: reflexão em extremidade fixa, formação de onda estacionária e quantização de modos normais.
Passo 2
Expressão da onda refletida
: ela viaja em direção negativa e sofre inversão de fase
ao refletir em
. Uma forma usual é
Passo 3
Superposição
. Use a identidade
Aqui
Então
Calculando
Logo
Passo 4
Forma de onda estacionária: escrevemos
e
, pois
. Assim
que é a típica forma de onda estacionária
.
Passo 5
Condição de modos normais em extremidades fixas: deve haver nós em
e
. Em
,
satisfaz; em
,
exige
Como aqui
, temos
que não é inteiro. Portanto, para a velocidade
dada, não ocorre um modo normal (não se forma onda estacionária compatível com as extremidades).
Passo 6
Agora suponha que a tensão seja alterada para que a velocidade valha
. A onda forçada em
mantém
fixo, mas passa a ter número de onda
Nesse caso o comprimento de onda é
, e o número de meio-comprimentos na corda é
que é inteiro. Assim forma-se uma onda estacionária, de harmônico
.
Resposta
i)
ii)
iii) Para não se obtém
com
, logo não há modo normal.
iv) Para obtém-se
com
, isto é, forma-se o 500º harmônico.
ii)
iii) Para
iv) Para