(2.5… pontos) Escreva a onda resultante da superposição das seguintes ondas:
l y1(x, t)=5 sin (3 x-7 t) y2(x, t)=5 cos (3 x-7 t) y3(x, t)=5 raiz2 sin (3 x-7 t-pi4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a onda resultante da superposição de três ondas dadas. Isso envolve conceitos de superposição de ondas e trigonometria básica. Vamos precisar somar as três funções de onda que são funções de seno e cosseno com o mesmo argumento 3x - 7t.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as ondas que vamos somar:
y1(x, t) &= 5 sin (3x - 7t) y2(x, t) &= 5 cos (3x - 7t) y3(x, t) &= 5 raiz2 sin (3x - 7t - pi4)
Queremos encontrar a onda resultante y(x, t) = y1 + y2 + y3 .

Passo 3

Vamos começar somando y1 e y2 . Para isso, usamos a identidade trigonométrica que combina seno e cosseno:
a sin(theta) + b cos(theta) = raiza^2 + b^2 sin(theta + phi)
onde phi = arctan(ba) .
No nosso caso, a = 5 e b = 5 , então:
raiz5^2 + 5^2 = raiz25 + 25 = raiz50 = 5raiz2
E o ângulo de fase phi é:
phi = arctan(55) = arctan(1) = pi4
Assim, a soma de y1 e y2 fica:
y1 + y2 = 5raiz2 sin(3x - 7t + pi4)

Passo 4

Agora, vamos somar o resultado com y3 :
y(x, t) = y1 + y2 + y3 = 5raiz2 sin(3x - 7t + pi4) + 5raiz2 sin(3x - 7t - pi4)
Para somar essas duas funções de seno, usamos outra identidade trigonométrica:
sin(A + B) + sin(A - B) = 2 sin(A) cos(B)
Aqui, A = 3x - 7t e B = pi4 . Aplicando a identidade:
y(x, t) = 5raiz2 cdot 2 sin(3x - 7t) cos(pi4)
Sabemos que cos(pi4) = raiz22 , então:
y(x, t) = 10raiz2 cdot sin(3x - 7t) cdot raiz22 = 10 sin(3x - 7t)

Resposta

A onda resultante da superposição das três ondas é:
y(x, t) = 10 sin(3x - 7t)

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