Uma amostra de um gás diatômico ideal com uma razão de calor específico de y=1,40, confinado em um cilindro, realiza um ciclo fechado. O gás está inicialmente a uma pressão de 3 atm, volume de 4,2 litros e temperatura de 341 K. Primeiro, sua pressão é triplicada a volume constante. Então, expande-se adiabaticamente até sua pressão original. Finalmente, o gás é comprimido isobaricamente para seu volume original. Encontre a temperatura, em K, do gás no final da expansão adiabática.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar para resolver. Temos um gás diatômico ideal com uma razão de calor específico y = 1,40 . Ele passa por um ciclo em três etapas:
  1. Primeira etapa: A pressão do gás triplica enquanto o volume permanece constante.
  2. Segunda etapa: O gás se expande de forma adiabática até voltar à pressão inicial.
  3. Terceira etapa: O gás é comprimido de maneira isobárica (pressão constante) de volta ao volume original.
Queremos encontrar a temperatura no final da expansão adiabática.
Para resolver isso, vamos precisar usar as leis dos gases ideais e as propriedades dos processos adiabáticos. Vamos seguir passo a passo para facilitar a compreensão.

Passo 2

Primeira etapa: Triplicação da pressão a volume constante
Inicialmente, temos:
  • Pressão inicial P1 = 3 atm
  • Volume inicial V1 = 4,2 litros
  • Temperatura inicial T1 = 341 K
Na primeira etapa, a pressão triplica mantendo o volume constante. Então:
  • Pressão final P2 = 3 times 3 = 9 atm
  • Volume permanece V2 = V1 = 4,2 litros
Como o volume é constante, podemos usar a relação da lei dos gases ideais que relaciona pressão e temperatura a volume constante:
P1T1 = P2T2
Vamos rearranjar para encontrar T2 :
T2 = T1 times P2P1
T2 = 341 times 93 = 341 times 3 = 1023 K
Portanto, após a primeira etapa, a temperatura aumenta para 1023 K.

Passo 3

Segunda etapa: Expansão adiabática até a pressão original
Agora, o gás se expande adiabaticamente, ou seja, sem troca de calor com o ambiente. Durante um processo adiabático para um gás ideal, a relação entre pressão e volume é dada por:
P V^gamma = constante
onde gamma = y = 1,40 .
Queremos saber a temperatura no final dessa expansão, que será T3 , quando a pressão retorna a P3 = 3 atm.
Primeiro, vamos relacionar as pressões e volumes usando a relação adiabática:
P2 V2^gamma = P3 V3^gamma
Queremos encontrar V3 , mas não precisamos para encontrar T3 . Podemos usar a relação das temperaturas em processos adiabáticos:
T2 V2^gamma - 1 = T3 V3^gamma - 1
No entanto, há uma forma mais direta de relacionar as temperaturas e as pressões:
( T3T2 ) = ( P3P2 )^gamma - 1gamma
Vamos aplicar essa fórmula para encontrar T3 :
T3 = T2 times ( P3P2 )^gamma - 1gamma
T3 = 1023 times ( 39 )^1,40 - 11,40
T3 = 1023 times ( 13 )^0,401,40
Vamos calcular o expoente:
0,401,40 approx 0,2857
Agora, calculamos ( 13 )^0,2857 :
( 13 )^0,2857 approx 0,5743
Finalmente:
T3 = 1023 times 0,5743 approx 587,3 K

Passo 4

Terceira etapa: Compressão isobárica de volta ao volume original
Embora a questão peça para encontrar a temperatura no final da expansão adiabática, é importante entender todas as etapas do ciclo para garantir que nossa resposta esteja correta.
Na terceira etapa, o gás é comprimido de forma isobárica (pressão constante) de P3 = 3 atm de volta ao volume original V1 = 4,2 litros.
Usamos a relação da lei dos gases ideais para processos a pressão constante:
V3T3 = V1T4
T4 = T3 times V1V3
Mas, como queremos apenas o resultado após a segunda etapa (expansão adiabática), essa terceira etapa não afeta nossa resposta final para a temperatura T3 .

Resposta

A temperatura do gás no final da expansão adiabática é aproximadamente 587,3 K.

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