Uma amostra de um gás diatômico ideal com uma razão de calor específico de
, confinado em um cilindro, realiza um ciclo fechado. O gás está inicialmente a uma pressão de 3 atm, volume de 4,2 litros e temperatura de 341 K. Primeiro, sua pressão é triplicada a volume constante. Então, expande-se adiabaticamente até sua pressão original. Finalmente, o gás é comprimido isobaricamente para seu volume original. Encontre a temperatura, em K, do gás no final da expansão adiabática.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar para resolver. Temos um gás diatômico ideal com uma razão de calor específico
. Ele passa por um ciclo em três etapas:
- Primeira etapa: A pressão do gás triplica enquanto o volume permanece constante.
- Segunda etapa: O gás se expande de forma adiabática até voltar à pressão inicial.
- Terceira etapa: O gás é comprimido de maneira isobárica (pressão constante) de volta ao volume original.
Queremos encontrar a temperatura no final da expansão adiabática.
Para resolver isso, vamos precisar usar as leis dos gases ideais e as propriedades dos processos adiabáticos. Vamos seguir passo a passo para facilitar a compreensão.
Passo 2
Primeira etapa: Triplicação da pressão a volume constante
Inicialmente, temos:
- Pressão inicial
atm - Volume inicial
litros - Temperatura inicial
K
Na primeira etapa, a pressão triplica mantendo o volume constante. Então:
- Pressão final
atm - Volume permanece
litros
Como o volume é constante, podemos usar a relação da lei dos gases ideais que relaciona pressão e temperatura a volume constante:
Vamos rearranjar para encontrar
:
Portanto, após a primeira etapa, a temperatura aumenta para 1023 K.
Passo 3
Segunda etapa: Expansão adiabática até a pressão original
Agora, o gás se expande adiabaticamente, ou seja, sem troca de calor com o ambiente. Durante um processo adiabático para um gás ideal, a relação entre pressão e volume é dada por:
onde
.
Queremos saber a temperatura no final dessa expansão, que será
, quando a pressão retorna a
atm.
Primeiro, vamos relacionar as pressões e volumes usando a relação adiabática:
Queremos encontrar
, mas não precisamos para encontrar
. Podemos usar a relação das temperaturas em processos adiabáticos:
No entanto, há uma forma mais direta de relacionar as temperaturas e as pressões:
Vamos aplicar essa fórmula para encontrar
:
Vamos calcular o expoente:
Agora, calculamos
:
Finalmente:
Passo 4
Terceira etapa: Compressão isobárica de volta ao volume original
Embora a questão peça para encontrar a temperatura no final da expansão adiabática, é importante entender todas as etapas do ciclo para garantir que nossa resposta esteja correta.
Na terceira etapa, o gás é comprimido de forma isobárica (pressão constante) de
atm de volta ao volume original
litros.
Usamos a relação da lei dos gases ideais para processos a pressão constante:
Mas, como queremos apenas o resultado após a segunda etapa (expansão adiabática), essa terceira etapa não afeta nossa resposta final para a temperatura
.
Resposta
A temperatura do gás no final da expansão adiabática é aproximadamente 587,3 K.