QUESTÃO 5. Um reservatório de água tem a forma de um cone invertido com 40 m de altura e uma base de 10 m de raio. A água fui no tanque a uma taxa de
. Calcular a velocidade com que o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 8 m ?
Passo 1
O enunciado descreve um tanque em forma de cone invertido de altura total
,m e raio da base
,m. A água entra a uma taxa volumétrica constante
,
/min. Queremos a taxa de variação da altura da água
no instante em que
,m. Vamos usar semelhança de triângulos para relacionar o raio da superfície livre
com
, expressar o volume em função de
e depois aplicar derivação temporal (taxas relacionadas).
Passo 2
Pela semelhança entre o triângulo gerado pelo cone todo e o triângulo formado pela altura de água
e seu raio
, vale
logo
Passo 3
O volume da água, visto como um cone de raio
e altura
, é
Substituindo
obtemos
Passo 4
Agora derivamos ambos os lados em relação ao tempo
:
Passo 5
Isolando
,
Passo 6
No instante em que
,m e
,
/min, temos