QUESTÃO 5. Um reservatório de água tem a forma de um cone invertido com 40 m de altura e uma base de 10 m de raio. A água fui no tanque a uma taxa de 2,5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}. Calcular a velocidade com que o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 8 m ?

Passo 1

O enunciado descreve um tanque em forma de cone invertido de altura total 40,m e raio da base 10,m. A água entra a uma taxa volumétrica constante \dfrac{dV}{dt}=2,5, m^{3}/min. Queremos a taxa de variação da altura da água h(t) no instante em que h=8,m. Vamos usar semelhança de triângulos para relacionar o raio da superfície livre r com h, expressar o volume em função de h e depois aplicar derivação temporal (taxas relacionadas).

Passo 2

Pela semelhança entre o triângulo gerado pelo cone todo e o triângulo formado pela altura de água h e seu raio r, vale
\frac{r}{h} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}
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r = \frac{h}{4}.

Passo 3

O volume da água, visto como um cone de raio r e altura h, é
V = \frac{1}{3}\pi r^2 h.
Substituindo r = \tfrac{h}{4} obtemos
V = \frac{1}{3}\pi \Bigl(\frac{h}{4}\Bigr)^{2} h = \frac{1}{3}\pi \frac{h^{2}}{16}\,h = \frac{\pi}{48}\,h^{3}.

Passo 4

Agora derivamos ambos os lados em relação ao tempo t:
\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{48}\;\frac{d}{dt}\bigl(h^{3}\bigr) = \frac{\pi}{48}\cdot 3h^{2}\,\frac{dh}{dt} = \frac{\pi}{16}\;h^{2}\,\frac{dh}{dt}.

Passo 5

Isolando \dfrac{dh}{dt},
\frac{dh}{dt} = \frac{1}{\tfrac{\pi}{16}\,h^{2}}\;\frac{dV}{dt} = \frac{16}{\pi\,h^{2}}\;\frac{dV}{dt}.

Passo 6

No instante em que h=8,m e \tfrac{dV}{dt}=2,5, m^{3}/min, temos
\frac{dh}{dt} = \frac{16}{\pi \,(8)^{2}}\;\bigl(2,5\bigr) = \frac{16\times2,5}{64\,\pi} = \frac{40}{64\,\pi} = \frac{5}{8\pi}\quad\text{m/min} \approx 0{,}20\;\text{m/min}.

Resposta

\displaystyle \frac{dh}{dt} = \frac{5}{8\pi}\\ \text{m/min} (aprox. 0,20,m/min).

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