[5,0 pontos] Dadas as funções
, determine as funçōes
e
, e os seus respectivos domínios.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as composições das funções f(x)=1+x e g(x)=\operatorname{sec}(3x), ou seja, f∘g e g∘f, além de determinar o domínio de cada uma. O conteúdo envolvido é composição de funções e domínio de funções trigonométricas, lembrando que \operatorname{sec}(u) está indefinida quando \cos(u)=0.
Passo 2
Para f∘g, aplicamos f sobre o valor de g: (f∘g)(x)=f(g(x))=1+\operatorname{sec}(3x). Como f é definida em todo \mathbb{R}, o domínio de f∘g é onde g existe, isto é onde \cos(3x)\neq0. A condição \cos(3x)=0 ocorre quando 3x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, logo x\neq\tfrac{\pi}{6}+k\tfrac{\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}.
Passo 3
Para g∘f, aplicamos g sobre o valor de f: (g∘f)(x)=\operatorname{sec}\bigl(3(1+x)\bigr)=\operatorname{sec}(3x+3). O domínio é onde \cos(3x+3)\neq0, isto é 3x+3\neq\tfrac{\pi}{2}+k\pi, o que dá x\neq\frac{\tfrac{\pi}{2}-3+k\pi}{3}, ou simplificando x\neq\tfrac{\pi}{6}-1+k\tfrac{\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}.