[5,0 pontos] Dadas as funções f(x)=1+x e g(x)=sec (3 x), determine as funçōes f circ g e g circ f, e os seus respectivos domínios.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as composições das funções f(x)=1+x e g(x)=\operatorname{sec}(3x), ou seja, f∘g e g∘f, além de determinar o domínio de cada uma. O conteúdo envolvido é composição de funções e domínio de funções trigonométricas, lembrando que \operatorname{sec}(u) está indefinida quando \cos(u)=0.

Passo 2

Para f∘g, aplicamos f sobre o valor de g: (f∘g)(x)=f(g(x))=1+\operatorname{sec}(3x). Como f é definida em todo \mathbb{R}, o domínio de f∘g é onde g existe, isto é onde \cos(3x)\neq0. A condição \cos(3x)=0 ocorre quando 3x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, logo x\neq\tfrac{\pi}{6}+k\tfrac{\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Para g∘f, aplicamos g sobre o valor de f: (g∘f)(x)=\operatorname{sec}\bigl(3(1+x)\bigr)=\operatorname{sec}(3x+3). O domínio é onde \cos(3x+3)\neq0, isto é 3x+3\neq\tfrac{\pi}{2}+k\pi, o que dá x\neq\frac{\tfrac{\pi}{2}-3+k\pi}{3}, ou simplificando x\neq\tfrac{\pi}{6}-1+k\tfrac{\pi}{3}, k\in\mathbb{Z}.

Resposta

(fcirc g)(x)=1+sec(3x), com Dom(fcirc g)=Rsetminustfracpi6+ktfracpi3mid kinZ
(gcirc f)(x)=sec(3x+3), com Dom(gcirc f)=Rsetminustfracpi6-1+ktfracpi3mid kinZ

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