Calcule o seguinte limite
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que o exercício pediu:
Esse problema é de cálculo de limites, mais especificamente de limites que envolvem frações polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar a regra de l’Hôpital caso seja necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
No numerador:
No numerador:
No denominador:
Como tanto o numerador quanto o denominador dão 0, temos uma indeterminação do tipo
. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.
Passo 3
Para simplificar, vamos fatorar o numerador e o denominador.
Começando pelo numerador
:
Vamos tentar encontrar uma raiz. Sabemos que faz o numerador ser zero, então
é um fator.
Usando a divisão polinomial ou a regra de Ruffini, dividimos o numerador por :
Vamos tentar encontrar uma raiz. Sabemos que
Usando a divisão polinomial ou a regra de Ruffini, dividimos o numerador por
Agora, fatoramos o polinômio quadrático
:
Portanto, o numerador fatorado é:
Passo 4
Agora, vamos fatorar o denominador
:
Procuramos dois números que multiplicados dão 27 e somados dão -12. Esses números são -9 e -3.
Então, o denominador fatorado é:
Procuramos dois números que multiplicados dão 27 e somados dão -12. Esses números são -9 e -3.
Então, o denominador fatorado é:
Passo 5
Agora que temos o numerador e o denominador fatorados, a expressão fica:
Perceba que
aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que
, o que é válido para o cálculo do limite):
Passo 6
Agora, com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo
:
Resposta
O limite é igual a
.