Calcule o seguinte limite
lim x 3 x^3-22 x^2+117 x-180x^2-12 x+27

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que o exercício pediu:
lim x 3 x^3-22 x^2+117 x-180x^2-12 x+27
Esse problema é de cálculo de limites, mais especificamente de limites que envolvem frações polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar a regra de l’Hôpital caso seja necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 3 diretamente na expressão para ver o que acontece:
No numerador:
3^3 - 22 times 3^2 + 117 times 3 - 180 = 27 - 198 + 351 - 180 = 0
No denominador:
3^2 - 12 times 3 + 27 = 9 - 36 + 27 = 0
Como tanto o numerador quanto o denominador dão 0, temos uma indeterminação do tipo 00. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar o numerador e o denominador.
Começando pelo numerador x^3 - 22x^2 + 117x - 180 :
Vamos tentar encontrar uma raiz. Sabemos que x = 3 faz o numerador ser zero, então (x - 3) é um fator.
Usando a divisão polinomial ou a regra de Ruffini, dividimos o numerador por (x - 3) :
x^3 - 22x^2 + 117x - 180 = (x - 3)(x^2 - 19x + 60)
Agora, fatoramos o polinômio quadrático x^2 - 19x + 60 :
x^2 - 19x + 60 = (x - 15)(x - 4)
Portanto, o numerador fatorado é:
(x - 3)(x - 15)(x - 4)

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador x^2 - 12x + 27 :
Procuramos dois números que multiplicados dão 27 e somados dão -12. Esses números são -9 e -3.
Então, o denominador fatorado é:
(x - 9)(x - 3)

Passo 5

Agora que temos o numerador e o denominador fatorados, a expressão fica:
(x - 3)(x - 15)(x - 4)(x - 9)(x - 3)
Perceba que (x - 3) aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que x neq 3 , o que é válido para o cálculo do limite):
(x - 15)(x - 4)(x - 9)

Passo 6

Agora, com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo x = 3 :
(3 - 15)(3 - 4)(3 - 9) = (-12)(-1)(-6) = 12-6 = -2

Resposta

O limite é igual a -2.

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