Questão 3: Considere a função f(x)=2 x^2-4 x-5.
a) (12 pontos) Calcule o limite
lim x 3[f(x)-f(3)x-3]
b) (4 pontos) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (3,1).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2x^2-4x-5
e pede:
a)
limxto3f(x)-f(3)x-3,
que é justamente a definição da derivada de f em x=3.
b) a reta tangente ao gráfico de f no ponto l(3,f(3)r).
Para isso, vamos usar que a reta tangente em x=3 tem coeficiente angular f'(3) e passa por l(3,f(3)r), ou seja,
y - f(3) = f'(3),(x-3)

Passo 2

Calcular f(3):
f(3)=2cdot3^2-4cdot3-5 = 18-12-5 = 1

Passo 3

Avaliar o limite usando fatoração:
f(x)-f(3)=2x^2-4x-5-1 = 2x^2-4x-6 = 2(x^2-2x-3) = 2(x-3)(x+1)
Dividindo por (x-3) (para xneq3):
f(x)-f(3)x-3 = 2(x+1)
Logo,
limxto3f(x)-f(3)x-3 = 2,(3+1) =8

Passo 4

Determinar a reta tangente. Sabendo que
f'(3)=8
e que l(3,f(3)r)=(3,1), a equação da reta é
y - 1 = 8,(x-3)
Desenvolvendo:
y = 8x -24 +1 = 8x -23

Resposta

a)
8
b)
y = 8x -23

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