Suponha que (Nx-My) / M=g(y) é uma função de y apenas. Prove que
rho(y)=exp (integral g(y) d y)
é um fator de integração de Mdx+Ndy=0.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e diz que
partial N/partial x - partial M/partial yM = g(y),
isto é, essa relação depende apenas de y. Queremos mostrar que
rho(y) = exp!l(integral g(y),dyr)
é um fator de integração, ou seja, que a equação
rho(y),M(x,y),dx + rho(y),N(x,y),dy = 0
é exata.

Passo 2

Para ser exata, a forma rho M,dx + rho N,dy deve satisfazer
partialpartial yl(rho,Mr) ;=; partialpartial xl(rho,Nr)
Começando pelo lado esquerdo, usemos a regra do produto e o fato de rho depender só de y:
partialpartial yl(rho,Mr) = drhody,M + rho,partial Mpartial y
Mas
drhody = ddyexp!l(!integral g(y),dyr) = g(y),exp!l(!integral g(y),dyr) = g(y),rho,
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partialpartial yl(rho,Mr) = g(y),rho,M + rho,My = rhol(g,M + Myr)

Passo 3

Agora o lado direito, lembrando que rho não depende de x:
partialpartial xl(rho,Nr) = rho,partial Npartial x = rho,Nx

Passo 4

Para exatidão, precisamos de
rhol(g,M + Myr) ;=; rho,Nx
Como rho>0, basta ter
g,M + My = Nx
Mas isto é exatamente a hipótese, pois
Nx-MyM = g(y) Longrightarrow Nx-My = g,M
Logo a igualdade vale, e a forma é exata.

Resposta

rho(y)=exp!l(integral g(y),dyr) é de fato um fator de integração de M,dx+N,dy=0.

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