Suponha que
é uma função de
apenas. Prove que
é um fator de integração de
.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
e diz que
isto é, essa relação depende apenas de
. Queremos mostrar que
é um fator de integração, ou seja, que a equação
é exata.
Passo 2
Para ser exata, a forma
deve satisfazer
Começando pelo lado esquerdo, usemos a regra do produto e o fato de
depender só de
:
Mas
logo
Passo 3
Agora o lado direito, lembrando que
não depende de
:
Passo 4
Para exatidão, precisamos de
Como
, basta ter
Mas isto é exatamente a hipótese, pois
Logo a igualdade vale, e a forma é exata.