Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis em :
O conteúdo é análise de limites em . Para mostrar que o limite existe e encontrar seu valor, usaremos coordenadas polares, que são uma ferramenta padrão para funções homogêneas.
Passo 2
Em coordenadas polares, escrevemos
onde . Substituindo na função,
Como para todo theta, temos
l|f(r,theta)r| <= 3,r
Quando (x,y)to(0,0), equivale a rto0^+, e portanto
l|f(r,theta)r|<=3,r ;longrightarrow;0
Pelo teorema do sanduíche (ou “squeeze”), f(r,theta)to0 independentemente de theta.