Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) 3 x^2 yx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis em (0,0):
f(x,y)=3x^2yx^2+y^2
O conteúdo é análise de limites em R^2. Para mostrar que o limite existe e encontrar seu valor, usaremos coordenadas polares, que são uma ferramenta padrão para funções homogêneas.

Passo 2

Em coordenadas polares, escrevemos
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde r = raizx^2+y^2. Substituindo na função,
f(r,theta) = 3,(rcostheta)^2,(rsintheta)r^2 = 3,r,cos^2theta,sintheta
Como l|cos^2theta,sinthetar|<=1 para todo theta, temos
l|f(r,theta)r| <= 3,r
Quando (x,y)to(0,0), equivale a rto0^+, e portanto
l|f(r,theta)r|<=3,r ;longrightarrow;0
Pelo teorema do sanduíche (ou “squeeze”), f(r,theta)to0 independentemente de theta.

Resposta

O limite existe e vale
lim(x,y)to(0,0) 3x^2yx^2+y^2 = 0

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