[5,0 pontos ] Dadas as funçōes f(x)=x1-x e g(x)=sen(2 x), determine as funções f circ g e g circ f, e os seus respectivos domínios.

Passo 1

Resumo da questão: temos as funções f(x)=x1-x e g(x)=sen(2x). O conteúdo aqui é composição de funções e definição de domínio, e vamos precisar usar a definição de (fcirc g)(x)=f(g(x)) e de (gcirc f)(x)=g(f(x)), além de analisar onde cada expressão faz sentido.

Passo 2

Para achar fcirc g, substituímos x por g(x) na fórmula de f:
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=g(x)1-g(x)=sen(2x)1-sen(2x)

Passo 3

Agora determinamos o domínio de fcirc g. A função g(x)=sen(2x) é definida para todo xinR, mas em f não podemos ter o denominador zero. Logo,
1-sen(2x)neq0Longrightarrowsen(2x)neq1

Passo 4

A equação sen(2x)=1 ocorre quando 2x=tfracpi2+2kpi, ou seja x=tfracpi4+kpi. Então o domínio é
D(fcirc g)=Rsetminuslx=tfracpi4+kpi:,kinZr

Passo 5

Para achar gcirc f, substituímos x por f(x) na fórmula de g:
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=senl(2,f(x)r)=senl(2,x1-xr)

Passo 6

O domínio de gcirc f exige que f(x) esteja definido (pois g aceita todo real). Como f(x)=x1-x não é definida em x=1, temos
D(gcirc f)=Rsetminus1

Resposta

(f\circ g)(x)=\frac{\operatorname{sen}(2x)}{1-\operatorname{sen}(2x)}, Dom(f\circ g)=\mathbb{R}\setminus{x=\tfrac{\pi}{4}+k\pi:,k\in\mathbb{Z}}; (g\circ f)(x)=\operatorname{sen}\bigl(2\tfrac{x}{1-x}\bigr), Dom(g\circ f)=\mathbb{R}\setminus{1}.

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