[5,0 pontos] Dadas as funçōes f(x)=x1+x e g(x)=sen(3 x), determine as funções f circ g e g circ f, e os seus respectivos domínios.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar as composições de funções e seus domínios: temos f(x)=x1+x e g(x)=sen(3x). O conteúdo aqui é funções compostas e domínio de funções racionais e trigonométricas; vamos usar definição de composição e analisar onde cada parte está bem definida.

Passo 2

Pra achar fcirc g, usamos (fcirc g)(x)=f(g(x)). Substituindo, temos:
(fcirc g)(x)=g(x)1+g(x)=sen(3x)1+sen(3x)
Agora o domínio: g(x)=sen(3x) está definida pra todo xinR, mas precisamos de 1+sen(3x)neq0, ou seja sen(3x)neq-1. Isso ocorre quando
3xneqtfrac3pi2+2kpiLeftrightarrow xneqtfracpi2+tfrac2kpi3, kinZ
Logo
dom(fcirc g)=Rsetminusltfracpi2+tfrac2kpi3:kinZr

Passo 3

Pra achar gcirc f, usamos (gcirc f)(x)=g(f(x)). Substituindo, fica:
(gcirc f)(x)=senl(3cdotx1+xr)
Quanto ao domínio, f(x)=x1+x exige 1+xneq0, ou seja xneq-1. A imagem de f sempre será um real, e g aceita todo real. Portanto
dom(gcirc f)=Rsetminus-1

Resposta

As composições e domínios são:
[(f\circ g)(x)=\frac{\operatorname{sen}(3x)}{1+\operatorname{sen}(3x)},\quad \mathrm{dom}(f\circ g)=\mathbb{R}\setminus\bigl{\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{2k\pi}{3}:k\in\mathbb{Z}\bigr}.
)
]

Exercícios relacionados