[5,0 pontos] Dadas as funçōes
e
, determine as funções
e
, e os seus respectivos domínios.
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar as composições de funções e seus domínios: temos
e
. O conteúdo aqui é funções compostas e domínio de funções racionais e trigonométricas; vamos usar definição de composição e analisar onde cada parte está bem definida.
Passo 2
Pra achar
, usamos
. Substituindo, temos:
Agora o domínio:
está definida pra todo
, mas precisamos de
, ou seja
. Isso ocorre quando
Logo
Passo 3
Pra achar
, usamos
. Substituindo, fica:
Quanto ao domínio,
exige
, ou seja
. A imagem de
sempre será um real, e
aceita todo real. Portanto
Resposta
As composições e domínios são:
[(f\circ g)(x)=\frac{\operatorname{sen}(3x)}{1+\operatorname{sen}(3x)},\quad \mathrm{dom}(f\circ g)=\mathbb{R}\setminus\bigl{\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{2k\pi}{3}:k\in\mathbb{Z}\bigr}.
)
)