I) \int \frac{x-4}{x^{3}+3 x^{2}-10 x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x-4}{x^{3}+3x^{2}-10x}\,dx.
Informações importantes dadas:
  • O numerador é \,x-4\,.
  • O denominador é \,x^{3}+3x^{2}-10x\,.
  • Não foi dada condição inicial; portanto a resposta terá constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador, porque isso vai permitir usar frações parciais.
Fatora-se:
x^{3}+3x^{2}-10x = x\,(x^{2}+3x-10).
Agora fatorar o quadrático:
x^{2}+3x-10 = (x+5)(x-2).
Portanto o denominador fatora-se completamente como
x^{3}+3x^{2}-10x = x\,(x+5)\,(x-2).

Passo 3

Agora usamos decomposição em frações parciais. Como os fatores são lineares distintos, procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{x-4}{x\,(x+5)\,(x-2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+5}+\frac{C}{x-2}.
Multiplicando ambos os lados por x\,(x+5)\,(x-2) obtemos a identidade polinomial
x-4 = A\,(x+5)(x-2) + B\,x(x-2) + C\,x(x+5).
Essa igualdade vale para todo x, então podemos determinar A,B,C.
(Sobre a ideia: a decomposição é válida porque uma razão de polinômios com denominador fatorado em fatores lineares distintos pode ser escrita como soma de termos \frac{\text{constante}}{x-a}. Isso transforma a integral em soma de integrais do tipo \int \frac{1}{x-a}\,dx, que são logaritmos.)

Passo 4

Determinar A,B,C usando valores convenientes de x.
  • Para x=0:
0-4 = A\,(0+5)(0-2) \quad\Rightarrow\quad -4 = A\cdot 5\cdot(-2) = -10A,
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A=\frac{2}{5}.
  • Para x=2:
2-4 = C\cdot 2\cdot(2+5) \quad\Rightarrow\quad -2 = 14C,
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C=-\frac{1}{7}.
  • Para x=-5:
-5-4 = B\cdot(-5)\cdot(-7) \quad\Rightarrow\quad -9 = 35B,
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B=-\frac{9}{35}.
(Como verificação rápida, note que em comum denominador os coeficientes somam A+B+C=\dfrac{14-9-5}{35}=0, o que é coerente com a estrutura do numerador.)

Passo 5

Substituindo os coeficientes de volta, a integral fica
\int \left(\frac{2/5}{x} - \frac{9/35}{x+5} - \frac{1/7}{x-2}\right)\,dx.
Integramos termo a termo sabendo que
\int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + \text{constante}.
Aplicando isso:
\int \frac{2/5}{x}\,dx = \frac{2}{5}\ln|x|, \qquad \int -\frac{9/35}{x+5}\,dx = -\frac{9}{35}\ln|x+5|, \qquad \int -\frac{1}{7}\frac{1}{x-2}\,dx = -\frac{1}{7}\ln|x-2|.

Passo 6

Juntando os termos e adicionando a constante de integração C, obtemos a antiderivada:
\int \frac{x-4}{x^{3}+3x^{2}-10x}\,dx = \frac{2}{5}\ln|x| - \frac{9}{35}\ln|x+5| - \frac{1}{7}\ln|x-2| + C.

Passo 7

(verificação rápida) Diferenciando a expressão obtida deve voltar ao integrando. Derivando:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{5}\ln|x| - \frac{9}{35}\ln|x+5| - \frac{1}{7}\ln|x-2|\right) = \frac{2/5}{x} - \frac{9/35}{x+5} - \frac{1/7}{x-2}.
Ao colocar em um único denominador x(x+5)(x-2) e somar os numeradores obtém-se exatamente x-4. Isso confirma que a antiderivada está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}\ln|x|-\frac{9}{35}\ln|x+5|-\frac{1}{7}\ln|x-2|+C

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