I)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações importantes dadas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Não foi dada condição inicial; portanto a resposta terá constante de integração
.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador, porque isso vai permitir usar frações parciais.
Fatora-se:
Fatora-se:
Agora fatorar o quadrático:
Portanto o denominador fatora-se completamente como
Passo 3
Agora usamos decomposição em frações parciais. Como os fatores são lineares distintos, procuramos constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Essa igualdade vale para todo
, então podemos determinar
.
(Sobre a ideia: a decomposição é válida porque uma razão de polinômios com denominador fatorado em fatores lineares distintos pode ser escrita como soma de termos
. Isso transforma a integral em soma de integrais do tipo
, que são logaritmos.)
Passo 4
Determinar
usando valores convenientes de
.
- Para
:
logo
- Para
:
logo
- Para
:
logo
(Como verificação rápida, note que em comum denominador os coeficientes somam
, o que é coerente com a estrutura do numerador.)
Passo 5
Substituindo os coeficientes de volta, a integral fica
Integramos termo a termo sabendo que
Aplicando isso:
Passo 6
Juntando os termos e adicionando a constante de integração
, obtemos a antiderivada:
Passo 7
(verificação rápida) Diferenciando a expressão obtida deve voltar ao integrando. Derivando:
Ao colocar em um único denominador
e somar os numeradores obtém-se exatamente
. Isso confirma que a antiderivada está correta.