[5,0 pontos] Encontre o domínio e esboce o gráfico da função
Passo 1
O enunciado dá uma função definida por partes e pede o domínio (todos os x onde f está definida) e o esboço do gráfico. O conteúdo envolve união de intervalos e entendimento dos tipos de cada ramo: um trecho parabólico, um trecho linear e um trecho constante.
Passo 2
Para determinar o domínio, olhamos as condições de cada parte:
– Primeiro ramo: definido se x<–3 → interval (–∞,–3).
– Segundo ramo: definido se –3≤x<3 → interval [–3,3).
– Terceiro ramo: definido se x>3 → interval (3,∞).
Reunindo tudo: Dom(f)=(–∞,–3)∪[–3,3)∪(3,∞). Note que x=3 não aparece em nenhuma condição.
– Primeiro ramo: definido se x<–3 → interval (–∞,–3).
– Segundo ramo: definido se –3≤x<3 → interval [–3,3).
– Terceiro ramo: definido se x>3 → interval (3,∞).
Reunindo tudo: Dom(f)=(–∞,–3)∪[–3,3)∪(3,∞). Note que x=3 não aparece em nenhuma condição.
Passo 3
Agora vamos examinar o comportamento nos pontos críticos x=–3 e x=3 para saber onde colocar círculos abertos e fechados:
– Em x=–3, o primeiro ramo tende a f(–3–)= (–3)²–1=8. Como ele vale só para x<–3, esse ponto fica com círculo aberto em (–3,8).
O segundo ramo em x=–3 dá f(–3)= –(–3)=3. Como ele inclui x=–3, temos ponto fechado em (–3,3).
– Em x=3, o segundo ramo tende a f(3–)= –3 com círculo aberto (pois x<3). O terceiro ramo não inclui x=3, então não há ponto em x=3 no gráfico.
– Em x=–3, o primeiro ramo tende a f(–3–)= (–3)²–1=8. Como ele vale só para x<–3, esse ponto fica com círculo aberto em (–3,8).
O segundo ramo em x=–3 dá f(–3)= –(–3)=3. Como ele inclui x=–3, temos ponto fechado em (–3,3).
– Em x=3, o segundo ramo tende a f(3–)= –3 com círculo aberto (pois x<3). O terceiro ramo não inclui x=3, então não há ponto em x=3 no gráfico.
Passo 4
Esboço do gráfico:
– Para x<–3: parte da parábola y=x²–1. Marcar até x=–3 com um círculo aberto em y=8.
– Para –3≤x<3: segmento de reta y=–x, de ponto fechado em (–3,3) até ponto aberto em (3,–3).
– Para x>3: reta horizontal y=5, começando sem ponto em x=3 (apenas a partir de valores maiores).
– Para x<–3: parte da parábola y=x²–1. Marcar até x=–3 com um círculo aberto em y=8.
– Para –3≤x<3: segmento de reta y=–x, de ponto fechado em (–3,3) até ponto aberto em (3,–3).
– Para x>3: reta horizontal y=5, começando sem ponto em x=3 (apenas a partir de valores maiores).
Resposta
Dom(f)=(–∞,–3)∪[–3,3)∪(3,∞).
Gráfico:
• x<–3: ramo de y=x²–1 com círculo aberto em (–3,8).
• –3≤x<3: reta y=–x, ponto fechado em (–3,3) até ponto aberto em (3,–3).
• x>3: reta horizontal y=5 para x>3 (sem ponto em x=3).
• x<–3: ramo de y=x²–1 com círculo aberto em (–3,8).
• –3≤x<3: reta y=–x, ponto fechado em (–3,3) até ponto aberto em (3,–3).
• x>3: reta horizontal y=5 para x>3 (sem ponto em x=3).