e use-o para calcular os seguintes limites
a) lim x 0^- f(x)
b) lim x 0^+ f(x)
c) lim x 0 f(x)
d) lim x pi^- f(x)
e) lim x pi^+ f(x)
f) lim x pi f(x)
Passo 1
A função é dada por partes: para x<0 temos f(x)=1−sen(x), para 0≤x≤π temos f(x)=−2 cos(x) e para x>π temos f(x)=2+sen(x). O conteúdo envolvido é: funções definidas por partes, esboço de senóides e cossenoides, e limites laterais usando valores de sen e cos em 0 e π.
Passo 2
Para esboçar o gráfico, analisamos cada trecho:
Em x<0: f(x)=1−sen(x), que é o seno invertido verticalmente e deslocado para cima de 1. Quando x→0−, sen(x)→0, logo f(x)→1.
Em 0≤x≤π: f(x)=−2 cos(x). Aqui f(0)=−2 cos(0)=−2 e f(π)=−2 cos(π)=2. O gráfico vai de −2 até 2 conforme x vai de 0 a π.
Em x>π: f(x)=2+sen(x), que varia entre 1 e 3. Quando x→π+, sen(x)→0, logo f(x)→2.
Passo 3
O limite à esquerda em x=0 é
limxto0^-f(x)=limxto0^-(1-sen(x))=1-0=1
Passo 4
O limite à direita em x=0 é
limxto0^+f(x)=limxto0^+(-2cos(x))=-2cos(0)=-2
Passo 5
Como os limites laterais em x=0 são diferentes (1≠−2), concluímos que
limxto0f(x) não existeã
Passo 6
O limite à esquerda em x=π é
limxtopi^-f(x)=limxtopi^-(-2cos(x))=-2cos(pi)=2
Passo 7
O limite à direita em x=π é
limxtopi^+f(x)=limxtopi^+(2+sen(x))=2+0=2
Passo 8
Como os limites laterais em x=π coincidem e valem 2, temos