[5,0 pontos] Esboce o gráfico da função
f(x)=cl 1-sen(x), & se x<0 -2 cos (x), & se 0 <= x <= pi 2+sen(x), & se x>pi
e use-o para calcular os seguintes limites
a) lim x 0^- f(x)
b) lim x 0^+ f(x)
c) lim x 0 f(x)
d) lim x pi^- f(x)
e) lim x pi^+ f(x)
f) lim x pi f(x)

Passo 1

A função é dada por partes: para x<0 temos f(x)=1−sen(x), para 0≤x≤π temos f(x)=−2 cos(x) e para x>π temos f(x)=2+sen(x). O conteúdo envolvido é: funções definidas por partes, esboço de senóides e cossenoides, e limites laterais usando valores de sen e cos em 0 e π.

Passo 2

Para esboçar o gráfico, analisamos cada trecho:
  • Em x<0: f(x)=1−sen(x), que é o seno invertido verticalmente e deslocado para cima de 1. Quando x→0−, sen(x)→0, logo f(x)→1.
  • Em 0≤x≤π: f(x)=−2 cos(x). Aqui f(0)=−2 cos(0)=−2 e f(π)=−2 cos(π)=2. O gráfico vai de −2 até 2 conforme x vai de 0 a π.
  • Em x>π: f(x)=2+sen(x), que varia entre 1 e 3. Quando x→π+, sen(x)→0, logo f(x)→2.

Passo 3

O limite à esquerda em x=0 é
limxto0^-f(x)=limxto0^-(1-sen(x))=1-0=1

Passo 4

O limite à direita em x=0 é
limxto0^+f(x)=limxto0^+(-2cos(x))=-2cos(0)=-2

Passo 5

Como os limites laterais em x=0 são diferentes (1≠−2), concluímos que
limxto0f(x) não existeã

Passo 6

O limite à esquerda em x=π é
limxtopi^-f(x)=limxtopi^-(-2cos(x))=-2cos(pi)=2

Passo 7

O limite à direita em x=π é
limxtopi^+f(x)=limxtopi^+(2+sen(x))=2+0=2

Passo 8

Como os limites laterais em x=π coincidem e valem 2, temos
limxtopif(x)=2

Resposta

a) 1, b) -2, c) não existe, d) 2, e) 2, f) 2

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